Theorem fprodf1o 14676

Description: Re-index a finite product using a bijection. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodf1o.1	|- ( k = G -> B = D )
fprodf1o.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fprodf1o.3	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
fprodf1o.4	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
fprodf1o.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodf1o	|- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, n   D, k   n, F   k, G   k, n, ph

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   D( n)   F( k)   G( n)

Proof of Theorem fprodf1o

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prod0 14673	. . . 4 |- prod_ k e. (/) B = 1
2		fprodf1o.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
4		f1oeq2 6128	. . . . . . . . 9 |- ( C = (/) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> ( F : C -1-1-onto-> A <-> F : (/) -1-1-onto-> A ) )
6	3, 5	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 6144	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -1-1-onto-> A -> F : (/) -onto-> A )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> F : (/) -onto-> A )
9		fo00 6172	. . . . . . 7 |- ( F : (/) -onto-> A <-> ( F = (/) /\ A = (/) ) )
10	9	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( F : (/) -onto-> A -> A = (/) )
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> A = (/) )
12	11	prodeq1d 14651	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
13		prodeq1 14639	. . . . . 6 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = prod_ n e. (/) D )
14		prod0 14673	. . . . . 6 |- prod_ n e. (/) D = 1
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( C = (/) -> prod_ n e. C D = 1 )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ n e. C D = 1 )
17	1, 12, 16	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( ( ph /\ C = (/) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
18	17	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( F ` m ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
21		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( # ` C ) e. NN )
22		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C )
23		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
24	2, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : C --> A )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( F ` m ) e. A )
26		fprodf1o.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
28	26, 27	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
29	28	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F ` m ) e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
30	25, 29	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
31	30	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) e. CC )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C )
33		f1oco 6159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -1-1-onto-> A /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> A )
34	2, 32, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> A )
35		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> A -> ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` C ) ) --> A )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` C ) ) --> A )
37		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F o. f ) : ( 1 ... ( # ` C ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... ( # ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
38	36, 37	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
39		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C -> f : ( 1 ... ( # ` C ) ) --> C )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> f : ( 1 ... ( # ` C ) ) --> C )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` C ) ) --> C )
42		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` C ) ) --> C /\ n e. ( 1 ... ( # ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
43	41, 42	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` C ) ) ) -> ( ( F o. f ) ` n ) = ( F ` ( f ` n ) ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` C ) ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` C ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` ( f ` n ) ) ) )
46	20, 21, 22, 31, 45	fprod 14671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) = ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ) ` ( # ` C ) ) )
47		fprodf1o.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
48	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
49	47, 48	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
50		fprodf1o.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> B = D )
51	50, 27	fvmpti 6281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. A -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = ( _I ` D ) )
52	49, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` G ) = ( _I ` D ) )
53	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` G ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
55	54	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. C -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( _I ` D ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( _I ` D ) )
57	52, 53, 56	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
58	57	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) )
59		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. C |-> D ) ` m )
60	59	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
64	61, 63	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) <-> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
65	60, 64	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. C -> ( A. n e. C ( ( n e. C |-> D ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` n ) ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) ) )
66	58, 65	mpan9 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
67	66	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. C ) -> ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
68	67	prodeq2dv 14653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( k e. A |-> B ) ` ( F ` m ) ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = ( ( F o. f ) ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( ( F o. f ) ` n ) ) )
70	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
71	70	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
72	69, 21, 34, 71, 38	fprod 14671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. ( F o. f ) ) ) ` ( # ` C ) ) )
73	46, 68, 72	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) )
74		prodfc 14675	. . . . . 6 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B
75		prodfc 14675	. . . . . 6 |- prod_ m e. C ( ( n e. C |-> D ) ` m ) = prod_ n e. C D
76	73, 74, 75	3eqtr3g 2679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` C ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )
77	76	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` C ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
78	77	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` C ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
79	78	expimpd 629	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D ) )
80		fprodf1o.2	. . 3 |- ( ph -> C e. Fin )
81		fz1f1o 14441	. . 3 |- ( C e. Fin -> ( C = (/) \/ ( ( # ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
82	80, 81	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( C = (/) \/ ( ( # ` C ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
83	18, 79, 82	mpjaod 396	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ n e. C D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   o. ccom 5118   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fprodss  14678  fprodshft  14706  fprodrev  14707  fprod2dlem  14710  fprodcnv  14713  gausslemma2dlem1  25091  hgt750lemg  30732