Theorem rankuni 8726

Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankuni	|- ( rank ` U. A ) = U. ( rank ` A )

Proof of Theorem rankuni

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4444	. . . . 5 |- ( x = A -> U. x = U. A )
2	1	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( x = A -> ( rank ` U. x ) = ( rank ` U. A ) )
3		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = A -> ( rank ` x ) = ( rank ` A ) )
4	3	unieqd 4446	. . . 4 |- ( x = A -> U. ( rank ` x ) = U. ( rank ` A ) )
5	2, 4	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( x = A -> ( ( rank ` U. x ) = U. ( rank ` x ) <-> ( rank ` U. A ) = U. ( rank ` A ) ) )
6		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
7	6	rankuni2 8718	. . . . . 6 |- ( rank ` U. x ) = U_ z e. x ( rank ` z )
8		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( rank ` z ) e. _V
9	8	dfiun2 4554	. . . . . 6 |- U_ z e. x ( rank ` z ) = U. { y | E. z e. x y = ( rank ` z ) }
10	7, 9	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( rank ` U. x ) = U. { y | E. z e. x y = ( rank ` z ) }
11		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. x y = ( rank ` z ) <-> E. z ( z e. x /\ y = ( rank ` z ) ) )
12	6	rankel 8702	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. x -> ( rank ` z ) e. ( rank ` x ) )
13	12	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. x /\ y = ( rank ` z ) ) -> ( ( rank ` z ) e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) )
14	13	eximi 1762	. . . . . . . . 9 |- ( E. z ( z e. x /\ y = ( rank ` z ) ) -> E. z ( ( rank ` z ) e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) )
15		19.42v 1918	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( y e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) <-> ( y e. ( rank ` x ) /\ E. z y = ( rank ` z ) ) )
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( rank ` z ) -> ( y e. ( rank ` x ) <-> ( rank ` z ) e. ( rank ` x ) ) )
17	16	pm5.32ri 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) <-> ( ( rank ` z ) e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) )
18	17	exbii 1774	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z ( y e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) <-> E. z ( ( rank ` z ) e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) )
19		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( rank ` x ) /\ E. z y = ( rank ` z ) ) -> y e. ( rank ` x ) )
20		rankon 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( rank ` x ) e. On
21	20	oneli 5835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( rank ` x ) -> y e. On )
22		r1fnon 8630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R1 Fn On
23		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom R1 = On
25	21, 24	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( rank ` x ) -> y e. dom R1 )
26		rankr1id 8725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. dom R1 <-> ( rank ` ( R1 ` y ) ) = y )
27	25, 26	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( rank ` x ) -> ( rank ` ( R1 ` y ) ) = y )
28	27	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( rank ` x ) -> y = ( rank ` ( R1 ` y ) ) )
29		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R1 ` y ) e. _V
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( R1 ` y ) -> ( rank ` z ) = ( rank ` ( R1 ` y ) ) )
31	30	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( R1 ` y ) -> ( y = ( rank ` z ) <-> y = ( rank ` ( R1 ` y ) ) ) )
32	29, 31	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( rank ` ( R1 ` y ) ) -> E. z y = ( rank ` z ) )
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( rank ` x ) -> E. z y = ( rank ` z ) )
34	33	ancli 574	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( rank ` x ) -> ( y e. ( rank ` x ) /\ E. z y = ( rank ` z ) ) )
35	19, 34	impbii 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( rank ` x ) /\ E. z y = ( rank ` z ) ) <-> y e. ( rank ` x ) )
36	15, 18, 35	3bitr3i 290	. . . . . . . . 9 |- ( E. z ( ( rank ` z ) e. ( rank ` x ) /\ y = ( rank ` z ) ) <-> y e. ( rank ` x ) )
37	14, 36	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( z e. x /\ y = ( rank ` z ) ) -> y e. ( rank ` x ) )
38	11, 37	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( E. z e. x y = ( rank ` z ) -> y e. ( rank ` x ) )
39	38	abssi 3677	. . . . . 6 |- { y | E. z e. x y = ( rank ` z ) } C_ ( rank ` x )
40	39	unissi 4461	. . . . 5 |- U. { y | E. z e. x y = ( rank ` z ) } C_ U. ( rank ` x )
41	10, 40	eqsstri 3635	. . . 4 |- ( rank ` U. x ) C_ U. ( rank ` x )
42		pwuni 4474	. . . . . . . 8 |- x C_ ~P U. x
43		vuniex 6954	. . . . . . . . . 10 |- U. x e. _V
44	43	pwex 4848	. . . . . . . . 9 |- ~P U. x e. _V
45	44	rankss 8712	. . . . . . . 8 |- ( x C_ ~P U. x -> ( rank ` x ) C_ ( rank ` ~P U. x ) )
46	42, 45	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( rank ` x ) C_ ( rank ` ~P U. x )
47	43	rankpw 8706	. . . . . . 7 |- ( rank ` ~P U. x ) = suc ( rank ` U. x )
48	46, 47	sseqtri 3637	. . . . . 6 |- ( rank ` x ) C_ suc ( rank ` U. x )
49	48	unissi 4461	. . . . 5 |- U. ( rank ` x ) C_ U. suc ( rank ` U. x )
50		rankon 8658	. . . . . 6 |- ( rank ` U. x ) e. On
51	50	onunisuci 5841	. . . . 5 |- U. suc ( rank ` U. x ) = ( rank ` U. x )
52	49, 51	sseqtri 3637	. . . 4 |- U. ( rank ` x ) C_ ( rank ` U. x )
53	41, 52	eqssi 3619	. . 3 |- ( rank ` U. x ) = U. ( rank ` x )
54	5, 53	vtoclg 3266	. 2 |- ( A e. _V -> ( rank ` U. A ) = U. ( rank ` A ) )
55		uniexb 6973	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )
56		fvprc 6185	. . . . 5 |- ( -. U. A e. _V -> ( rank ` U. A ) = (/) )
57	55, 56	sylnbi 320	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( rank ` U. A ) = (/) )
58		uni0 4465	. . . 4 |- U. (/) = (/)
59	57, 58	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( rank ` U. A ) = U. (/) )
60		fvprc 6185	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( rank ` A ) = (/) )
61	60	unieqd 4446	. . 3 |- ( -. A e. _V -> U. ( rank ` A ) = U. (/) )
62	59, 61	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( rank ` U. A ) = U. ( rank ` A ) )
63	54, 62	pm2.61i 176	1 |- ( rank ` U. A ) = U. ( rank ` A )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   dom cdm 5114   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  rankuniss  8729  rankbnd2  8732  rankxplim2  8743  rankxplim3  8744  rankxpsuc  8745  r1limwun  9558  hfuni  32291