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Theorem r1limwun 9558
Description: Each limit stage in the cumulative hierarchy is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
r1limwun |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) e. WUni )
Proof of Theorem r1limwun
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1tr 8639 . . 3 |- Tr ( R1 ` A )
21a1i 11 . 2 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> Tr ( R1 ` A ) )
3 limelon 5788 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> A e. On )
4 r1fnon 8630 . . . . . . 7 |- R1 Fn On
5 fndm 5990 . . . . . . 7 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 |- dom R1 = On
73, 6syl6eleqr 2712 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> A e. dom R1 )
8 onssr1 8694 . . . . 5 |- ( A e. dom R1 -> A C_ ( R1 ` A ) )
97, 8syl 17 . . . 4 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> A C_ ( R1 ` A ) )
10 0ellim 5787 . . . . 5 |- ( Lim A -> (/) e. A )
1110adantl 482 . . . 4 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> (/) e. A )
129, 11sseldd 3604 . . 3 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> (/) e. ( R1 ` A ) )
13 ne0i 3921 . . 3 |- ( (/) e. ( R1 ` A ) -> ( R1 ` A ) =/= (/) )
1412, 13syl 17 . 2 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) =/= (/) )
15 rankuni 8726 . . . . . 6 |- ( rank ` U. x ) = U. ( rank ` x )
16 rankon 8658 . . . . . . . . 9 |- ( rank ` x ) e. On
17 eloni 5733 . . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. On -> Ord ( rank ` x ) )
18 orduniss 5821 . . . . . . . . 9 |- ( Ord ( rank ` x ) -> U. ( rank ` x ) C_ ( rank ` x ) )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . 8 |- U. ( rank ` x ) C_ ( rank ` x )
2019a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> U. ( rank ` x ) C_ ( rank ` x ) )
21 rankr1ai 8661 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( R1 ` A ) -> ( rank ` x ) e. A )
2221adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` x ) e. A )
23 onuni 6993 . . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. On -> U. ( rank ` x ) e. On )
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- U. ( rank ` x ) e. On
253adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> A e. On )
26 ontr2 5772 . . . . . . . 8 |- ( ( U. ( rank ` x ) e. On /\ A e. On ) -> ( ( U. ( rank ` x ) C_ ( rank ` x ) /\ ( rank ` x ) e. A ) -> U. ( rank ` x ) e. A ) )
2724, 25, 26sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( ( U. ( rank ` x ) C_ ( rank ` x ) /\ ( rank ` x ) e. A ) -> U. ( rank ` x ) e. A ) )
2820, 22, 27mp2and 715 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> U. ( rank ` x ) e. A )
2915, 28syl5eqel 2705 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` U. x ) e. A )
30 r1elwf 8659 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( R1 ` A ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
3130adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
32 uniwf 8682 . . . . . . 7 |- ( x e. U. ( R1 " On ) <-> U. x e. U. ( R1 " On ) )
3331, 32sylib 208 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> U. x e. U. ( R1 " On ) )
347adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> A e. dom R1 )
35 rankr1ag 8665 . . . . . 6 |- ( ( U. x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( U. x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` U. x ) e. A ) )
3633, 34, 35syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( U. x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` U. x ) e. A ) )
3729, 36mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> U. x e. ( R1 ` A ) )
38 r1pwcl 8710 . . . . . 6 |- ( Lim A -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
3938adantl 482 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
4039biimpa 501 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) )
4130ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
42 r1elwf 8659 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( R1 ` A ) -> y e. U. ( R1 " On ) )
4342adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> y e. U. ( R1 " On ) )
44 rankprb 8714 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ y e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` { x , y } ) = suc ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) )
4541, 43, 44syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` { x , y } ) = suc ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) )
46 limord 5784 . . . . . . . . . 10 |- ( Lim A -> Ord A )
4746ad3antlr 767 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> Ord A )
4822adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` x ) e. A )
49 rankr1ai 8661 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( R1 ` A ) -> ( rank ` y ) e. A )
5049adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` y ) e. A )
51 ordunel 7027 . . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ ( rank ` x ) e. A /\ ( rank ` y ) e. A ) -> ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) e. A )
5247, 48, 50, 51syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) e. A )
53 limsuc 7049 . . . . . . . . 9 |- ( Lim A -> ( ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) e. A <-> suc ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) e. A ) )
5453ad3antlr 767 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> ( ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) e. A <-> suc ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) e. A ) )
5552, 54mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> suc ( ( rank ` x ) u. ( rank ` y ) ) e. A )
5645, 55eqeltrd 2701 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` { x , y } ) e. A )
57 prwf 8674 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ y e. U. ( R1 " On ) ) -> { x , y } e. U. ( R1 " On ) )
5841, 43, 57syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> { x , y } e. U. ( R1 " On ) )
5934adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> A e. dom R1 )
60 rankr1ag 8665 . . . . . . 7 |- ( ( { x , y } e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( { x , y } e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` { x , y } ) e. A ) )
6158, 59, 60syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> ( { x , y } e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` { x , y } ) e. A ) )
6256, 61mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) /\ y e. ( R1 ` A ) ) -> { x , y } e. ( R1 ` A ) )
6362ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> A. y e. ( R1 ` A ) { x , y } e. ( R1 ` A ) )
6437, 40, 633jca 1242 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ Lim A ) /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( U. x e. ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) /\ A. y e. ( R1 ` A ) { x , y } e. ( R1 ` A ) ) )
6564ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> A. x e. ( R1 ` A ) ( U. x e. ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) /\ A. y e. ( R1 ` A ) { x , y } e. ( R1 ` A ) ) )
66 fvex 6201 . . 3 |- ( R1 ` A ) e. _V
67 iswun 9526 . . 3 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` A ) e. WUni <-> ( Tr ( R1 ` A ) /\ ( R1 ` A ) =/= (/) /\ A. x e. ( R1 ` A ) ( U. x e. ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) /\ A. y e. ( R1 ` A ) { x , y } e. ( R1 ` A ) ) ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . 2 |- ( ( R1 ` A ) e. WUni <-> ( Tr ( R1 ` A ) /\ ( R1 ` A ) =/= (/) /\ A. x e. ( R1 ` A ) ( U. x e. ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) /\ A. y e. ( R1 ` A ) { x , y } e. ( R1 ` A ) ) ) )
692, 14, 65, 68syl3anbrc 1246 1 |- ( ( A e. V /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) e. WUni )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   U.cuni 4436   Tr wtr 4752   dom cdm 5114   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   R1cr1 8625   rankcrnk 8626  WUnicwun 9522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628  df-wun 9524
This theorem is referenced by:  r1wunlim  9559  wunex3  9563
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