Theorem resssetc 16742

Description: The restriction of the category of sets to a subset is the category of sets in the subset. Thus, the SetCat ` U categories for different U are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
resssetc.c	|- C = ( SetCat ` U )
resssetc.d	|- D = ( SetCat ` V )
resssetc.1	|- ( ph -> U e. W )
resssetc.2	|- ( ph -> V C_ U )

Assertion

Ref	Expression
resssetc	|- ( ph -> ( ( Hom f ` ( C ↾s V ) ) = ( Hom f ` D ) /\ (compf ` ( C ↾s V ) ) = (compf ` D ) ) )

Proof of Theorem resssetc

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resssetc.d	. . . . . 6 |- D = ( SetCat ` V )
2		resssetc.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. W )
3		resssetc.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V C_ U )
4	2, 3	ssexd 4805	. . . . . . 7 |- ( ph -> V e. _V )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> V e. _V )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
7		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> x e. V )
8		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> y e. V )
9	1, 5, 6, 7, 8	setchom 16730	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x ( Hom ` D ) y ) = ( y ^m x ) )
10		resssetc.c	. . . . . 6 |- C = ( SetCat ` U )
11	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> U e. W )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
13	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> V C_ U )
14	13, 7	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> x e. U )
15	13, 8	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> y e. U )
16	10, 11, 12, 14, 15	setchom 16730	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x ( Hom ` C ) y ) = ( y ^m x ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( C ↾s V ) = ( C ↾s V )
18	17, 12	resshom 16078	. . . . . . 7 |- ( V e. _V -> ( Hom ` C ) = ( Hom ` ( C ↾s V ) ) )
19	4, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Hom ` C ) = ( Hom ` ( C ↾s V ) ) )
20	19	oveqdr 6674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x ( Hom ` C ) y ) = ( x ( Hom ` ( C ↾s V ) ) y ) )
21	9, 16, 20	3eqtr2rd 2663	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x ( Hom ` ( C ↾s V ) ) y ) = ( x ( Hom ` D ) y ) )
22	21	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. V A. y e. V ( x ( Hom ` ( C ↾s V ) ) y ) = ( x ( Hom ` D ) y ) )
23		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` ( C ↾s V ) ) = ( Hom ` ( C ↾s V ) )
24	10, 2	setcbas 16728	. . . . . 6 |- ( ph -> U = ( Base ` C ) )
25	3, 24	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ph -> V C_ ( Base ` C ) )
26		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
27	17, 26	ressbas2 15931	. . . . 5 |- ( V C_ ( Base ` C ) -> V = ( Base ` ( C ↾s V ) ) )
28	25, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` ( C ↾s V ) ) )
29	1, 4	setcbas 16728	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` D ) )
30	23, 6, 28, 29	homfeq 16354	. . 3 |- ( ph -> ( ( Hom f ` ( C ↾s V ) ) = ( Hom f ` D ) <-> A. x e. V A. y e. V ( x ( Hom ` ( C ↾s V ) ) y ) = ( x ( Hom ` D ) y ) ) )
31	22, 30	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( Hom f ` ( C ↾s V ) ) = ( Hom f ` D ) )
32	4	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> V e. _V )
33		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (comp ` D ) = (comp ` D )
34		simplr1 1103	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> x e. V )
35		simplr2 1104	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> y e. V )
36		simplr3 1105	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> z e. V )
37		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` D ) y ) )
38	1, 32, 6, 34, 35	elsetchom 16731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) <-> f : x --> y ) )
39	37, 38	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> f : x --> y )
40		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` D ) z ) )
41	1, 32, 6, 35, 36	elsetchom 16731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) <-> g : y --> z ) )
42	40, 41	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> g : y --> z )
43	1, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 42	setcco 16733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) f ) = ( g o. f ) )
44	2	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> U e. W )
45		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
46	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> V C_ U )
47	46, 34	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> x e. U )
48	46, 35	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> y e. U )
49	46, 36	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> z e. U )
50	10, 44, 45, 47, 48, 49, 39, 42	setcco 16733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) = ( g o. f ) )
51	17, 45	ressco 16079	. . . . . . . . . . 11 |- ( V e. _V -> (comp ` C ) = (comp ` ( C ↾s V ) ) )
52	4, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (comp ` C ) = (comp ` ( C ↾s V ) ) )
53	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> (comp ` C ) = (comp ` ( C ↾s V ) ) )
54	53	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) = ( <. x , y >. (comp ` ( C ↾s V ) ) z ) )
55	54	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` ( C ↾s V ) ) z ) f ) )
56	43, 50, 55	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` D ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) f ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` ( C ↾s V ) ) z ) f ) )
57	56	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) f ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` ( C ↾s V ) ) z ) f ) )
58	57	ralrimivvva 2972	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. V A. y e. V A. z e. V A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) f ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` ( C ↾s V ) ) z ) f ) )
59		eqid 2622	. . . . 5 |- (comp ` ( C ↾s V ) ) = (comp ` ( C ↾s V ) )
60	31	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( Hom f ` D ) = ( Hom f ` ( C ↾s V ) ) )
61	33, 59, 6, 29, 28, 60	comfeq 16366	. . . 4 |- ( ph -> ( (compf ` D ) = (compf ` ( C ↾s V ) ) <-> A. x e. V A. y e. V A. z e. V A. f e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) f ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` ( C ↾s V ) ) z ) f ) ) )
62	58, 61	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> (compf ` D ) = (compf ` ( C ↾s V ) ) )
63	62	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> (compf ` ( C ↾s V ) ) = (compf ` D ) )
64	31, 63	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( Hom f ` ( C ↾s V ) ) = ( Hom f ` D ) /\ (compf ` ( C ↾s V ) ) = (compf ` D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Hom chom 15952  compcco 15953   Hom _f chomf 16327  comp_fccomf 16328   SetCatcsetc 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-hom 15966  df-cco 15967  df-homf 16331  df-comf 16332  df-setc 16726

This theorem is referenced by:  funcsetcres2  16743