Theorem tsmsf1o 21948

Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsf1o.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsf1o.1	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsf1o.2	|- ( ph -> G e. TopSp )
tsmsf1o.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsf1o.f	|- ( ph -> F : A --> B )
tsmsf1o.s	|- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
tsmsf1o	|- ( ph -> ( G tsums F ) = ( G tsums ( F o. H ) ) )

Proof of Theorem tsmsf1o

Dummy variables a b u y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsf1o.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )
2		f1opwfi 8270	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : C -1-1-onto-> A -> ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )
4		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) -> ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) = ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) )
7	6	fmpt 6381	. . . . . . . . 9 |- ( A. a e. ( ~P C i^i Fin ) ( H " a ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
8	5, 7	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. a e. ( ~P C i^i Fin ) ( H " a ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
9		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( H " a ) -> ( y C_ z <-> ( H " a ) C_ z ) )
10	9	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( H " a ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( H " a ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
12	6, 11	rexrnmpt 6369	. . . . . . . 8 |- ( A. a e. ( ~P C i^i Fin ) ( H " a ) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( E. y e. ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
13	8, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
14		f1ofo 6144	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) -> ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) )
15		forn 6118	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) -onto-> ( ~P A i^i Fin ) -> ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
16	3, 14, 15	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
17	16	rexeqdv 3145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
18		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = b -> ( H " a ) = ( H " b ) )
19	18	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) = ( b e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " b ) )
20	19	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( H " b ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) : ( ~P C i^i Fin ) --> ( ~P A i^i Fin ) )
21	5, 20	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( H " b ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
22		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( H " b ) -> ( ( H " a ) C_ z <-> ( H " a ) C_ ( H " b ) ) )
23		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( H " b ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( H " b ) ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) = ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) )
25	24	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( H " b ) -> ( ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) )
26	22, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( H " b ) -> ( ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> ( ( H " a ) C_ ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) ) )
27	19, 26	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( H " b ) e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( A. z e. ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) ) )
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) ) )
29	16	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( a e. ( ~P C i^i Fin ) |-> ( H " a ) ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
30	28, 29	bitr3d 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) <-> A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) )
32		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H : C -1-1-onto-> A -> H : C -1-1-> A )
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> H : C -1-1-> A )
34	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> H : C -1-1-> A )
35		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( a C_ C /\ a e. Fin ) )
36	35	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( ~P C i^i Fin ) -> a C_ C )
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> a C_ C )
38		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( b C_ C /\ b e. Fin ) )
39	38	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( ~P C i^i Fin ) -> b C_ C )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> b C_ C )
41		f1imass 6521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H : C -1-1-> A /\ ( a C_ C /\ b C_ C ) ) -> ( ( H " a ) C_ ( H " b ) <-> a C_ b ) )
42	34, 37, 40, 41	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( H " a ) C_ ( H " b ) <-> a C_ b ) )
43		tsmsf1o.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( Base ` G )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
45		tsmsf1o.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. CMnd )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
47	38	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b e. ( ~P C i^i Fin ) -> b e. Fin )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> b e. Fin )
49		f1ores 6151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H : C -1-1-> A /\ b C_ C ) -> ( H |` b ) : b -1-1-onto-> ( H " b ) )
50	34, 40, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( H |` b ) : b -1-1-onto-> ( H " b ) )
51		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H |` b ) : b -1-1-onto-> ( H " b ) -> ( H |` b ) : b -onto-> ( H " b ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( H |` b ) : b -onto-> ( H " b ) )
53		fofi 8252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. Fin /\ ( H |` b ) : b -onto-> ( H " b ) ) -> ( H " b ) e. Fin )
54	48, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( H " b ) e. Fin )
55		tsmsf1o.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> B )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> F : A --> B )
57		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H " b ) C_ ran H
58	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> H : C -1-1-onto-> A )
59		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( H : C -1-1-onto-> A -> H : C -onto-> A )
60		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( H : C -onto-> A -> ran H = A )
61	58, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ran H = A )
62	57, 61	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( H " b ) C_ A )
63	56, 62	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` ( H " b ) ) : ( H " b ) --> B )
64		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
65	63, 54, 64	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` ( H " b ) ) finSupp ( 0g ` G ) )
66	43, 44, 46, 54, 63, 65, 50	gsumf1o 18317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) = ( G gsumg ( ( F |` ( H " b ) ) o. ( H |` b ) ) ) )
67		df-ima 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( H " b ) = ran ( H |` b )
68	67	eqimss2i 3660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran ( H |` b ) C_ ( H " b )
69		cores 5638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran ( H |` b ) C_ ( H " b ) -> ( ( F |` ( H " b ) ) o. ( H |` b ) ) = ( F o. ( H |` b ) ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F |` ( H " b ) ) o. ( H |` b ) ) = ( F o. ( H |` b ) )
71		resco 5639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F o. H ) |` b ) = ( F o. ( H |` b ) )
72	70, 71	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` ( H " b ) ) o. ( H |` b ) ) = ( ( F o. H ) |` b )
73	72	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G gsumg ( ( F |` ( H " b ) ) o. ( H |` b ) ) ) = ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) )
74	66, 73	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) = ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) )
75	74	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u <-> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) )
76	42, 75	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( ( H " a ) C_ ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) <-> ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) )
77	76	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ ( H " b ) -> ( G gsumg ( F |` ( H " b ) ) ) e. u ) <-> A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) )
78	31, 77	bitr3d 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) )
79	78	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( ( H " a ) C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) )
80	13, 17, 79	3bitr3d 298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) <-> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) )
81	80	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> ( x e. u -> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) ) )
82	81	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ph -> ( A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) <-> A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) ) )
83	82	anbi2d 740	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) <-> ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) ) ) )
84		eqid 2622	. . . 4 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
85		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
86		tsmsf1o.2	. . . 4 |- ( ph -> G e. TopSp )
87		tsmsf1o.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
88	43, 84, 85, 45, 86, 87, 55	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. u ) ) ) ) )
89		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P C i^i Fin ) = ( ~P C i^i Fin )
90		f1dmex 7136	. . . . 5 |- ( ( H : C -1-1-> A /\ A e. V ) -> C e. _V )
91	33, 87, 90	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> C e. _V )
92		f1of 6137	. . . . . 6 |- ( H : C -1-1-onto-> A -> H : C --> A )
93	1, 92	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> H : C --> A )
94		fco 6058	. . . . 5 |- ( ( F : A --> B /\ H : C --> A ) -> ( F o. H ) : C --> B )
95	55, 93, 94	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. H ) : C --> B )
96	43, 84, 89, 45, 86, 91, 95	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums ( F o. H ) ) <-> ( x e. B /\ A. u e. ( TopOpen ` G ) ( x e. u -> E. a e. ( ~P C i^i Fin ) A. b e. ( ~P C i^i Fin ) ( a C_ b -> ( G gsumg ( ( F o. H ) |` b ) ) e. u ) ) ) ) )
97	83, 88, 96	3bitr4d 300	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( G tsums F ) <-> x e. ( G tsums ( F o. H ) ) ) )
98	97	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> ( G tsums F ) = ( G tsums ( F o. H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   TopSpctps 20736   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  esumf1o  30112