Theorem pgpfac1lem2 18474

Description: Lemma for pgpfac1 18479. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.s	|- S = ( K ` { A } )
pgpfac1.b	|- B = ( Base ` G )
pgpfac1.o	|- O = ( od ` G )
pgpfac1.e	|- E = (gEx ` G )
pgpfac1.z	|- .0. = ( 0g ` G )
pgpfac1.l	|- .(+) = ( LSSum ` G )
pgpfac1.p	|- ( ph -> P pGrp G )
pgpfac1.g	|- ( ph -> G e. Abel )
pgpfac1.n	|- ( ph -> B e. Fin )
pgpfac1.oe	|- ( ph -> ( O ` A ) = E )
pgpfac1.u	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.au	|- ( ph -> A e. U )
pgpfac1.w	|- ( ph -> W e. (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.i	|- ( ph -> ( S i^i W ) = { .0. } )
pgpfac1.ss	|- ( ph -> ( S .(+) W ) C_ U )
pgpfac1.2	|- ( ph -> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. ( S .(+) W ) C. w ) )
pgpfac1.c	|- ( ph -> C e. ( U \ ( S .(+) W ) ) )
pgpfac1.mg	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem2	|- ( ph -> ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) )

Distinct variable groups:   w, A   w, .(+)   w, P   w, G   w, U   w, C   w, S   w, W   ph, w   w, .x.   w, K

Allowed substitution hints:   B( w)   E( w)   O( w)   .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem2

Dummy variables k s t a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( U \ ( S .(+) W ) ) )
2	1	eldifbd 3587	. 2 |- ( ph -> -. C e. ( S .(+) W ) )
3	1	eldifad 3586	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. U )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) -> C e. U )
5		pgpfac1.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
6		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P pGrp G )
7		pgpprm 18008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P pGrp G -> P e. Prime )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. Prime )
9		prmz 15389	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. ZZ )
11		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = (.g ` G )
12	11	subgmulgcl 17607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (SubGrp ` G ) /\ P e. ZZ /\ C e. U ) -> ( P .x. C ) e. U )
13	5, 10, 3, 12	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P .x. C ) e. U )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( P .x. C ) e. U )
15		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) -> -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) )
16	14, 15	eldifd 3585	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( P .x. C ) e. ( U \ ( S .(+) W ) ) )
17		pgpfac1.k	. . . . . . . 8 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
18		pgpfac1.s	. . . . . . . 8 |- S = ( K ` { A } )
19		pgpfac1.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
20		pgpfac1.o	. . . . . . . 8 |- O = ( od ` G )
21		pgpfac1.e	. . . . . . . 8 |- E = (gEx ` G )
22		pgpfac1.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
23		pgpfac1.l	. . . . . . . 8 |- .(+) = ( LSSum ` G )
24		pgpfac1.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. Abel )
25		pgpfac1.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. Fin )
26		pgpfac1.oe	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` A ) = E )
27		pgpfac1.au	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. U )
28		pgpfac1.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. (SubGrp ` G ) )
29		pgpfac1.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S i^i W ) = { .0. } )
30		pgpfac1.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S .(+) W ) C_ U )
31		pgpfac1.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. ( S .(+) W ) C. w ) )
32	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31	pgpfac1lem1 18473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( P .x. C ) e. ( U \ ( S .(+) W ) ) ) -> ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { ( P .x. C ) } ) ) = U )
33	16, 32	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { ( P .x. C ) } ) ) = U )
34	4, 33	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) -> C e. ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { ( P .x. C ) } ) ) )
35	34	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> C e. ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { ( P .x. C ) } ) ) ) )
36		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
37		ablgrp 18198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
38	24, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Grp )
39	19	subgacs 17629	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) )
41	40	acsmred 16317	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) )
42	19	subgss 17595	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ B )
43	5, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U C_ B )
44	43, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. B )
45	17	mrcsncl 16272	. . . . . . . . 9 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) /\ A e. B ) -> ( K ` { A } ) e. (SubGrp ` G ) )
46	41, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ` { A } ) e. (SubGrp ` G ) )
47	18, 46	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
48	23	lsmsubg2 18262	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ W e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) )
49	24, 47, 28, 48	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) )
50	43, 13	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P .x. C ) e. B )
51	17	mrcsncl 16272	. . . . . . 7 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) /\ ( P .x. C ) e. B ) -> ( K ` { ( P .x. C ) } ) e. (SubGrp ` G ) )
52	41, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ` { ( P .x. C ) } ) e. (SubGrp ` G ) )
53	36, 23, 49, 52	lsmelvalm 18066	. . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { ( P .x. C ) } ) ) <-> E. s e. ( S .(+) W ) E. t e. ( K ` { ( P .x. C ) } ) C = ( s ( -g ` G ) t ) ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ |-> ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = ( k e. ZZ |-> ( k .x. ( P .x. C ) ) )
55	19, 11, 54, 17	cycsubg2 17631	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( P .x. C ) e. B ) -> ( K ` { ( P .x. C ) } ) = ran ( k e. ZZ |-> ( k .x. ( P .x. C ) ) ) )
56	38, 50, 55	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K ` { ( P .x. C ) } ) = ran ( k e. ZZ |-> ( k .x. ( P .x. C ) ) ) )
57	56	rexeqdv 3145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t e. ( K ` { ( P .x. C ) } ) C = ( s ( -g ` G ) t ) <-> E. t e. ran ( k e. ZZ |-> ( k .x. ( P .x. C ) ) ) C = ( s ( -g ` G ) t ) ) )
58		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( k .x. ( P .x. C ) ) e. _V
59	58	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. k e. ZZ ( k .x. ( P .x. C ) ) e. _V
60		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( t = ( k .x. ( P .x. C ) ) -> ( s ( -g ` G ) t ) = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) )
61	60	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( t = ( k .x. ( P .x. C ) ) -> ( C = ( s ( -g ` G ) t ) <-> C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) ) )
62	54, 61	rexrnmpt 6369	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ZZ ( k .x. ( P .x. C ) ) e. _V -> ( E. t e. ran ( k e. ZZ |-> ( k .x. ( P .x. C ) ) ) C = ( s ( -g ` G ) t ) <-> E. k e. ZZ C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) ) )
63	59, 62	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. t e. ran ( k e. ZZ |-> ( k .x. ( P .x. C ) ) ) C = ( s ( -g ` G ) t ) <-> E. k e. ZZ C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) ) )
64	57, 63	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. t e. ( K ` { ( P .x. C ) } ) C = ( s ( -g ` G ) t ) <-> E. k e. ZZ C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) ) )
65	64	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. s e. ( S .(+) W ) E. t e. ( K ` { ( P .x. C ) } ) C = ( s ( -g ` G ) t ) <-> E. s e. ( S .(+) W ) E. k e. ZZ C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) ) )
66		rexcom 3099	. . . . . 6 |- ( E. s e. ( S .(+) W ) E. k e. ZZ C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) <-> E. k e. ZZ E. s e. ( S .(+) W ) C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) )
67	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> G e. Grp )
68	30, 43	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S .(+) W ) C_ B )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( S .(+) W ) C_ B )
70	69	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> s e. B )
71		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> k e. ZZ )
72	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( P .x. C ) e. B )
73	19, 11	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ k e. ZZ /\ ( P .x. C ) e. B ) -> ( k .x. ( P .x. C ) ) e. B )
74	67, 71, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( k .x. ( P .x. C ) ) e. B )
75	43, 3	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. B )
76	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> C e. B )
77		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
78	19, 77, 36	grpsubadd 17503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( s e. B /\ ( k .x. ( P .x. C ) ) e. B /\ C e. B ) ) -> ( ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = C <-> ( C ( +g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = s ) )
79	67, 70, 74, 76, 78	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = C <-> ( C ( +g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = s ) )
80		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> 1 e. ZZ )
81	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> P e. ZZ )
82	71, 81	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( k x. P ) e. ZZ )
83	19, 11, 77	mulgdir 17573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( 1 e. ZZ /\ ( k x. P ) e. ZZ /\ C e. B ) ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) = ( ( 1 .x. C ) ( +g ` G ) ( ( k x. P ) .x. C ) ) )
84	67, 80, 82, 76, 83	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) = ( ( 1 .x. C ) ( +g ` G ) ( ( k x. P ) .x. C ) ) )
85	19, 11	mulg1 17548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. B -> ( 1 .x. C ) = C )
86	76, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( 1 .x. C ) = C )
87	19, 11	mulgass 17579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( k e. ZZ /\ P e. ZZ /\ C e. B ) ) -> ( ( k x. P ) .x. C ) = ( k .x. ( P .x. C ) ) )
88	67, 71, 81, 76, 87	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( k x. P ) .x. C ) = ( k .x. ( P .x. C ) ) )
89	86, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( 1 .x. C ) ( +g ` G ) ( ( k x. P ) .x. C ) ) = ( C ( +g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) )
90	84, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) = ( C ( +g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) )
91	90	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) = s <-> ( C ( +g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = s ) )
92	79, 91	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = C <-> ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) = s ) )
93		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) <-> ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) = C )
94		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) <-> ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) = s )
95	92, 93, 94	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ s e. ( S .(+) W ) ) -> ( C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) <-> s = ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) )
96	95	rexbidva 3049	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( E. s e. ( S .(+) W ) C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) <-> E. s e. ( S .(+) W ) s = ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) )
97		risset 3062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) <-> E. s e. ( S .(+) W ) s = ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) )
98	96, 97	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( E. s e. ( S .(+) W ) C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) <-> ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) )
99	98	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. k e. ZZ E. s e. ( S .(+) W ) C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) <-> E. k e. ZZ ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) )
100	66, 99	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. s e. ( S .(+) W ) E. k e. ZZ C = ( s ( -g ` G ) ( k .x. ( P .x. C ) ) ) <-> E. k e. ZZ ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) )
101	53, 65, 100	3bitrd 294	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { ( P .x. C ) } ) ) <-> E. k e. ZZ ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) )
102	35, 101	sylibd 229	. . 3 |- ( ph -> ( -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> E. k e. ZZ ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) )
103	38	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> G e. Grp )
104	75	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> C e. B )
105		1z 11407	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
106		id 22	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ -> k e. ZZ )
107		zmulcl 11426	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( k x. P ) e. ZZ )
108	106, 10, 107	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k x. P ) e. ZZ )
109		zaddcl 11417	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( k x. P ) e. ZZ ) -> ( 1 + ( k x. P ) ) e. ZZ )
110	105, 108, 109	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( 1 + ( k x. P ) ) e. ZZ )
111	19, 20	odcl 17955	. . . . . . . . 9 |- ( C e. B -> ( O ` C ) e. NN0 )
112	104, 111	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( O ` C ) e. NN0 )
113	112	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( O ` C ) e. ZZ )
114		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Fin -> ( # ` B ) e. NN0 )
115	25, 114	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
116	115	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` B ) e. ZZ )
117	116	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
118		gcdcom 15235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) gcd ( # ` B ) ) = ( ( # ` B ) gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) )
119	110, 117, 118	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) gcd ( # ` B ) ) = ( ( # ` B ) gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) )
120	19	pgphash 18022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P pGrp G /\ B e. Fin ) -> ( # ` B ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` B ) ) ) )
121	6, 25, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` B ) ) ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( # ` B ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` B ) ) ) )
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( # ` B ) gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) )
124		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. ZZ )
125	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> P e. ZZ )
126		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
127		gcdaddm 15246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( P gcd 1 ) = ( P gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) )
128	124, 125, 126, 127	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( P gcd 1 ) = ( P gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) )
129		gcd1 15249	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> ( P gcd 1 ) = 1 )
130	125, 129	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( P gcd 1 ) = 1 )
131	128, 130	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( P gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) = 1 )
132	19	grpbn0 17451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Grp -> B =/= (/) )
133	38, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B =/= (/) )
134		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. Fin -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
135	25, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
136	133, 135	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN )
137	8, 136	pccld 15555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( P pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
139		rpexp1i 15433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( 1 + ( k x. P ) ) e. ZZ /\ ( P pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 ) -> ( ( P gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) = 1 -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) = 1 ) )
140	125, 110, 138, 139	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( P gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) = 1 -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) = 1 ) )
141	131, 140	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( 1 + ( k x. P ) ) ) = 1 )
142	119, 123, 141	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) gcd ( # ` B ) ) = 1 )
143	19, 20	oddvds2 17983	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ B e. Fin /\ C e. B ) -> ( O ` C ) || ( # ` B ) )
144	38, 25, 75, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( O ` C ) || ( # ` B ) )
145	144	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( O ` C ) || ( # ` B ) )
146		rpdvds 15374	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) e. ZZ /\ ( O ` C ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) /\ ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) gcd ( # ` B ) ) = 1 /\ ( O ` C ) || ( # ` B ) ) ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) gcd ( O ` C ) ) = 1 )
147	110, 113, 117, 142, 145, 146	syl32anc 1334	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 + ( k x. P ) ) gcd ( O ` C ) ) = 1 )
148	19, 20, 11	odbezout 17975	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ C e. B /\ ( 1 + ( k x. P ) ) e. ZZ ) /\ ( ( 1 + ( k x. P ) ) gcd ( O ` C ) ) = 1 ) -> E. a e. ZZ ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) = C )
149	103, 104, 110, 147, 148	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> E. a e. ZZ ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) = C )
150	49	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ a e. ZZ ) -> ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) )
151		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ a e. ZZ ) -> a e. ZZ )
152	11	subgmulgcl 17607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ a e. ZZ /\ ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) e. ( S .(+) W ) )
153	152	3expia 1267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) e. ( S .(+) W ) ) )
154	150, 151, 153	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) e. ( S .(+) W ) ) )
155		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) = C -> ( ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) e. ( S .(+) W ) <-> C e. ( S .(+) W ) ) )
156	155	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) = C -> ( ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) e. ( S .(+) W ) ) <-> ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> C e. ( S .(+) W ) ) ) )
157	154, 156	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) = C -> ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> C e. ( S .(+) W ) ) ) )
158	157	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( E. a e. ZZ ( a .x. ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) ) = C -> ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> C e. ( S .(+) W ) ) ) )
159	149, 158	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> C e. ( S .(+) W ) ) )
160	159	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. ZZ ( ( 1 + ( k x. P ) ) .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> C e. ( S .(+) W ) ) )
161	102, 160	syld 47	. 2 |- ( ph -> ( -. ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) -> C e. ( S .(+) W ) ) )
162	2, 161	mt3d 140	1 |- ( ph -> ( P .x. C ) e. ( S .(+) W ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944  gExcgex 17945   pGrp cpgp 17946   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-od 17948  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  18477