cntotbnd - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem cntotbnd 33595

Description: A subset of the complex numbers is totally bounded iff it is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cntotbnd.d

**Assertion**
Ref	Expression
cntotbnd

Proof of Theorem cntotbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 33588	. 2
2		rpcn 11841	. . . . . . . . . 10
3	2	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
4		gzcn 15636	. . . . . . . . 9
5		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
7		eqid 2622	. . . . . . . 8
8	6, 7	fmptd 6385	. . . . . . 7 $/\$
9		frn 6053	. . . . . . 7
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 $/\$
11		cnex 10017	. . . . . . 7
12	11	elpw2 4828	. . . . . 6
13	10, 12	sylibr 224	. . . . 5 $/\$
14		cnmet 22575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		cntotbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16	15	bnd2lem 33590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
17	14, 16	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	17	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
19	18	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
20	19	recld 13934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
21		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	20, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12
24		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
25	22, 23, 24	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
26	25	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
27	19	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
28	27, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
29		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
30	28, 23, 29	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
31	30	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
32		gzreim 15643	. . . . . . . . . 10 $/\$
33	26, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
34		gzcn 15636	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
36	21	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
37	21	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
38	19, 36, 37	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
39	35, 38	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
40	39	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
43	26	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
44		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45	31	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
46		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
47	44, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
48	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
49	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
50		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
51	44, 49, 50	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
52	43, 47, 48, 51	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
53	38	replimd 13937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
54	21	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
55	54, 19, 37	redivd 13969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
56	54, 19, 37	imdivd 13970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
58	55, 57	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
59	53, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
61	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
62	61, 45, 49	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
64	52, 60, 63	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
67	26	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
68	67, 22	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
69	31	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
70	69, 28	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
71		absreimsq 14032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
72	68, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
73	66, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
74	68	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
75	70	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
76	23	resqcli 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
78	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
79		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80	68, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
81		rddif 14080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
82	22, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
83	68	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
84	83	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
85	83	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
86		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
87	23, 86	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
89	87, 88	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
90	84, 78, 85, 89	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
91	82, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
92	80, 91	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
93		halfcn 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
94	93	sqvali 12943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96	23, 41, 23, 86	ltmul1ii 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97	95, 96	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98	93	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99	97, 98	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100	94, 99	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
102	74, 77, 78, 92, 101	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
103		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104	70, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
105		rddif 14080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106	28, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
107	70	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
108	107	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
109	107	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
110	108, 78, 109, 89	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
111	106, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
112	104, 111	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
113	75, 77, 78, 112, 101	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	74, 75, 42, 102, 113	lt2halvesd 11280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
115	73, 114	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
116		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . 14
117	115, 116	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
118	39	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
121	40, 42, 118, 120	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
122	117, 121	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
123	40, 42, 21, 122	ltmul2dd 11928	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
124	36, 35	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
125		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
126	125	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
127	124, 19, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
128	36, 35, 38	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
129	19, 36, 37	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
133	36, 39	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
134	132, 133	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
135	21	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
136	54, 135	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
137	136	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
138	127, 134, 137	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
139	36	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
140	123, 138, 139	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
141		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . 12
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
143		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . 12
144	143	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
145		elbl2 22195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
146	142, 144, 124, 19, 145	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
147	140, 146	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
148		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
150	149	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
151	150	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 $/\$
152	33, 147, 151	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
153	152	expr 643	. . . . . . 7 $/\$
154		eliun 4524	. . . . . . . 8
155		ovex 6678	. . . . . . . . . 10
156	155	rgenw 2924	. . . . . . . . 9
157		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
158	157	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10
159	7, 158	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . 9
160	156, 159	ax-mp 5	. . . . . . . 8
161	154, 160	bitri 264	. . . . . . 7
162	153, 161	syl6ibr 242	. . . . . 6 $/\$
163	162	ssrdv 3609	. . . . 5 $/\$
164		simpl 473	. . . . . . 7 $/\$
165		0cn 10032	. . . . . . . 8
166	15	ssbnd 33587	. . . . . . . 8 $/\$
167	14, 165, 166	mp2an 708	. . . . . . 7
168	164, 167	sylib 208	. . . . . 6 $/\$
169		fzfi 12771	. . . . . . . . 9
170		xpfi 8231	. . . . . . . . 9 $/\$
171	169, 169, 170	mp2an 708	. . . . . . . 8
172		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
173		ovex 6678	. . . . . . . . . 10
174	172, 173	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . 9
175		dffn4 6121	. . . . . . . . 9
176	174, 175	mpbi 220	. . . . . . . 8
177		fofi 8252	. . . . . . . 8 $/\$
178	171, 176, 177	mp2an 708	. . . . . . 7
179	7, 155	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . 10
180		elgz 15635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
181	180	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
182	181	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	182	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	183	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
185	4	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
186	185	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	188	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	189, 191	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	192, 188	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194	193	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
195	194	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
196	195	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
197		absrele 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
198	185, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	188	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200	199, 185	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
201	188	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202	189, 201	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
204	200, 203	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
208	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
209	6	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
210	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	187	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
212	190	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
213		bldisj 22203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
214	213	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
215	214	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
216	208, 209, 210, 211, 212, 215	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
217		sseq0 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
218	207, 216, 217	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219	218	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
220	219	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
221		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
222	189, 191, 221	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
223	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
224	125	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
225	223, 165, 224	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
226	223	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
227	226	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
228	225, 227	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	222, 228	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	220, 229	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	223	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231, 192	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	230, 232	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	204, 233	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	186, 192, 188	ltmuldiv2d 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
236	234, 235	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
238	193, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
239	186, 193, 196, 236, 238	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
240	186, 196, 239	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241	184, 186, 196, 198, 240	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
242	182	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242, 196	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
244	241, 243	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
245	195	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
246		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
247	182, 245, 195, 246	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
248	244, 247	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
249	180	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
250	249	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
251	250	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
252	251	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
253		absimle 14049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
254	185, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
255	252, 186, 196, 254, 240	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
256	250	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
257	256, 196	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
258	255, 257	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
259		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
260	250, 245, 195, 259	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
261	258, 260	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
262	185	replimd 13937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
263	262	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
264		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
265	264	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
266	265	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
267		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
268	267	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
269	268	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
270	269	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
271	266, 270	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
272	248, 261, 263, 271	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
273	272	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
274	172, 173	elrnmpt2 6773	. . . . . . . . . . . . 13
275	273, 274	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
276	157	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . 14
277	276	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . 13
278		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13
279	277, 278	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12
280	275, 279	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
281	280	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
282	179, 281	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
283	282	3imp 1256	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
284	283	rabssdv 3682	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
285		ssfi 8180	. . . . . . 7 $/\$
286	178, 284, 285	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
287	168, 286	rexlimddv 3035	. . . . 5 $/\$
288		iuneq1 4534	. . . . . . . 8
289	288	sseq2d 3633	. . . . . . 7
290		rabeq 3192	. . . . . . . 8
291	290	eleq1d 2686	. . . . . . 7
292	289, 291	anbi12d 747	. . . . . 6 $/\$ $/\$
293	292	rspcev 3309	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
294	13, 163, 287, 293	syl12anc 1324	. . . 4 $/\$ $/\$
295	294	ralrimiva 2966	. . 3 $/\$
296	15	sstotbnd3 33575	. . . 4 $/\$ $/\$
297	14, 17, 296	sylancr 695	. . 3 $/\$
298	295, 297	mpbird 247	. 2
299	1, 298	impbii 199	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

crn 5115

cres 5116

ccom 5118

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

crp 11832

cxad 11944

cfz 12326

cfl 12591

cexp 12860

cre 13837

cim 13838

cabs 13974

cgz 15633

cxmt 19731

cme 19732

cbl 19733

ctotbnd 33565

cbnd 33566

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-ec 7744 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-fz 12327 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-gz 15634 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-totbnd 33567 df-bnd 33578

This theorem is referenced by: cnpwstotbnd 33596

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