Theorem xrge0tsmsd 29785

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsmsd.g	|- G = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
xrge0tsmsd.a	|- ( ph -> A e. V )
xrge0tsmsd.f	|- ( ph -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
xrge0tsmsd.s	|- ( ph -> S = sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsmsd	|- ( ph -> ( G tsums F ) = { S } )

Distinct variable groups:   A, s   F, s   ph, s   G, s

Allowed substitution hints:   S( s)   V( s)

Proof of Theorem xrge0tsmsd

Dummy variables r u v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsmsd.s	. . . . 5 |- ( ph -> S = sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
2		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
3		xrge0tsmsd.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
4		xrsbas 19762	. . . . . . . . . . . 12 |- RR* = ( Base ` RR*s )
5	3, 4	ressbas2 15931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` G ) )
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` G )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
8		xrge0cmn 19788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd
9	3, 8	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- G e. CMnd
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
11		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> s e. ( ~P A i^i Fin ) )
12		xrge0tsmsd.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
13		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( s C_ A /\ s e. Fin ) )
14	13	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) -> s C_ A )
15		fssres 6070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> ( 0 [,] +oo ) /\ s C_ A ) -> ( F |` s ) : s --> ( 0 [,] +oo ) )
16	12, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` s ) : s --> ( 0 [,] +oo ) )
17		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) -> s e. Fin )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> s e. Fin )
19		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
20	16, 18, 19	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` s ) finSupp ( 0g ` G ) )
21	6, 7, 10, 11, 16, 20	gsumcl 18316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
22	2, 21	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) e. RR* )
23		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) = ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) )
24	22, 23	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
25		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
27		supxrcl 12145	. . . . . 6 |- ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
29	1, 28	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR* )
30		0ss 3972	. . . . . . . 8 |- (/) C_ A
31		0fin 8188	. . . . . . . 8 |- (/) e. Fin
32		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) C_ A /\ (/) e. Fin ) )
33	30, 31, 32	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
34		0cn 10032	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
35		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = (/) -> ( F |` s ) = ( F |` (/) ) )
36		res0 5400	. . . . . . . . . . 11 |- ( F |` (/) ) = (/)
37	35, 36	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( s = (/) -> ( F |` s ) = (/) )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( s = (/) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = ( G gsumg (/) ) )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) = ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) )
40	39	xrge0subm 19787	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] +oo ) e. (SubMnd ` ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) )
41		xrex 11829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR* e. _V
42		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR* e. _V -> ( RR* \ { -oo } ) e. _V )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR* \ { -oo } ) e. _V
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) -> x e. RR* )
45		ge0nemnf 12004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) -> x =/= -oo )
46	44, 45	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) -> ( x e. RR* /\ x =/= -oo ) )
47		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) )
48		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( RR* \ { -oo } ) <-> ( x e. RR* /\ x =/= -oo ) )
49	46, 47, 48	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,] +oo ) -> x e. ( RR* \ { -oo } ) )
50	49	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] +oo ) C_ ( RR* \ { -oo } )
51		ressabs 15939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( RR* \ { -oo } ) e. _V /\ ( 0 [,] +oo ) C_ ( RR* \ { -oo } ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
52	43, 50, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
53	3, 52	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ↾s ( 0 [,] +oo ) )
54	39	xrs10 19785	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) )
55	53, 54	subm0 17356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) e. (SubMnd ` ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ) -> 0 = ( 0g ` G ) )
56	40, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` G )
57	56	gsum0 17278	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg (/) ) = 0
58	38, 57	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( s = (/) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = 0 )
59	23, 58	elrnmpt1s 5373	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 e. CC ) -> 0 e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) )
60	33, 34, 59	mp2an 708	. . . . . 6 |- 0 e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) )
61		supxrub 12154	. . . . . 6 |- ( ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* /\ 0 e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) ) -> 0 <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
62	26, 60, 61	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
63	62, 1	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ S )
64		elxrge0 12281	. . . 4 |- ( S e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( S e. RR* /\ 0 <_ S ) )
65	29, 63, 64	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> S e. ( 0 [,] +oo ) )
66		letop 21010	. . . . . 6 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
67		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) e. _V
68		elrest 16088	. . . . . 6 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V ) -> ( u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) <-> E. v e. (ordTop ` <_ ) u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
69	66, 67, 68	mp2an 708	. . . . 5 |- ( u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) <-> E. v e. (ordTop ` <_ ) u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
70		elinel1 3799	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> S e. v )
71		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> v e. (ordTop ` <_ ) )
72		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
73		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ RR e. _V /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( v i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
74	66, 72, 73	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. (ordTop ` <_ ) -> ( v i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
75	71, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( v i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
77	76	xrtgioo 22609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
78	75, 77	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( v i^i RR ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
79		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> S e. v )
80		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> S e. RR )
81	79, 80	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> S e. ( v i^i RR ) )
82		tg2 20769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v i^i RR ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ S e. ( v i^i RR ) ) -> E. u e. ran (,) ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) )
83	78, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> E. u e. ran (,) ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) )
84		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
85		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
86		ovelrn 6810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( u e. ran (,) <-> E. r e. RR* E. w e. RR* u = ( r (,) w ) ) )
87	84, 85, 86	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ran (,) <-> E. r e. RR* E. w e. RR* u = ( r (,) w ) )
88		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) )
90		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v i^i RR ) C_ v
91	89, 90	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( r (,) w ) C_ v )
92	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> G e. CMnd )
93		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
94		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> y e. Fin )
96		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ph )
97	96, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
98		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
99	98	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
100	93, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> y C_ A )
101	97, 100	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( 0 [,] +oo ) )
102		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( F : A --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun F )
103	12, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> Fun F )
104	103	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> Fun F )
105	104	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> Fun F )
106		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> 0 e. _V )
108	105, 95, 107	resfifsupp 8303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` y ) finSupp 0 )
109	6, 56, 92, 95, 101, 108	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
110	2, 109	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* )
111		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> r e. RR* )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> r e. RR* )
113		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> z e. ( ~P A i^i Fin ) )
114		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> z C_ y )
115	114, 100	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> z C_ A )
116	97, 115	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` z ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
117		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y e. Fin /\ z C_ y ) -> z e. Fin )
118	95, 114, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> z e. Fin )
119		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
120	116, 118, 119	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` z ) finSupp ( 0g ` G ) )
121	6, 7, 92, 113, 116, 120	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
122	2, 121	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. RR* )
123		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
124		xrge0tsmsd.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> A e. V )
125	96, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> A e. V )
126	3, 125, 97, 93, 114	xrge0gsumle 22636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) <_ ( G gsumg ( F |` y ) ) )
127	112, 122, 110, 123, 126	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` y ) ) )
128	96, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> S e. RR* )
129		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> w e. RR* )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> w e. RR* )
131	96, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
132		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( G gsumg ( F |` y ) ) e. _V
133		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( s = y -> ( F |` s ) = ( F |` y ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s = y -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
135	23, 134	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. _V ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) )
136	93, 132, 135	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) )
137		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
138	131, 136, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
139	96, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> S = sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
140	138, 139	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ S )
141		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> S e. ( r (,) w ) )
142		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( S e. ( r (,) w ) -> ( r < S /\ S < w ) )
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ( r < S /\ S < w ) )
144	143	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> S < w )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> S < w )
146	110, 128, 130, 140, 145	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) < w )
147		elioo1 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,) w ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) < w ) ) )
148	112, 130, 147	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,) w ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) < w ) ) )
149	110, 127, 146, 148	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,) w ) )
150	91, 149	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. v )
151	150, 109	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
152	151	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
153	152	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
154	153	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
155	143	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> r < S )
156	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> S = sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
157	155, 156	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
158	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
159		supxrlub 12155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* /\ r e. RR* ) -> ( r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) <-> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w ) )
160	158, 111, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ( r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) <-> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w ) )
161	157, 160	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w )
162		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G gsumg ( F |` z ) ) e. _V
163	162	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( G gsumg ( F |` z ) ) e. _V
164		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s = z -> ( F |` s ) = ( F |` z ) )
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = z -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = ( G gsumg ( F |` z ) ) )
166	165	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) = ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` z ) ) )
167		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( G gsumg ( F |` z ) ) -> ( r < w <-> r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) )
168	166, 167	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( G gsumg ( F |` z ) ) e. _V -> ( E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) )
169	163, 168	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
170	161, 169	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
171	154, 170	reximddv 3018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
172	171	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( r e. RR* /\ w e. RR* ) ) -> ( ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
173		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( S e. u <-> S e. ( r (,) w ) ) )
174		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( u C_ ( v i^i RR ) <-> ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) )
175	173, 174	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) <-> ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) )
176	175	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) <-> ( ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
177	172, 176	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( r e. RR* /\ w e. RR* ) ) -> ( u = ( r (,) w ) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
178	177	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( E. r e. RR* E. w e. RR* u = ( r (,) w ) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
179	87, 178	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( u e. ran (,) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
180	179	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( E. u e. ran (,) ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
181	83, 180	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
182		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> v e. (ordTop ` <_ ) )
183		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> S = +oo )
184		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> S e. v )
185	183, 184	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> +oo e. v )
186		pnfnei 21024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ +oo e. v ) -> E. r e. RR ( r (,] +oo ) C_ v )
187	182, 185, 186	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> E. r e. RR ( r (,] +oo ) C_ v )
188		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> ( r (,] +oo ) C_ v )
189	188	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( r (,] +oo ) C_ v )
190	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> G e. CMnd )
191		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
192		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ph )
193	192, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
194	99	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> y C_ A )
195	193, 194	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( 0 [,] +oo ) )
196	94	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> y e. Fin )
197		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
198	195, 196, 197	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` y ) finSupp ( 0g ` G ) )
199	6, 7, 190, 191, 195, 198	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
200	2, 199	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* )
201		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r e. RR -> r e. RR* )
202	201	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r e. RR* )
203	202	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> r e. RR* )
204		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> z e. ( ~P A i^i Fin ) )
205		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> z C_ y )
206	205, 194	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> z C_ A )
207	193, 206	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` z ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
208	196, 205, 117	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> z e. Fin )
209	207, 208, 197	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` z ) finSupp ( 0g ` G ) )
210	6, 7, 190, 204, 207, 209	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
211	2, 210	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. RR* )
212		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
213	192, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> A e. V )
214	3, 213, 193, 191, 205	xrge0gsumle 22636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) <_ ( G gsumg ( F |` y ) ) )
215	203, 211, 200, 212, 214	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` y ) ) )
216		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo )
217	200, 216	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo )
218		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- +oo e. RR*
219		elioc1 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,] +oo ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo ) ) )
220	203, 218, 219	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,] +oo ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo ) ) )
221	200, 215, 217, 220	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,] +oo ) )
222	189, 221	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. v )
223	222, 199	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
224	223	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
225	224	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
226		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR -> r < +oo )
227	226	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r < +oo )
228		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> S = +oo )
229	227, 228	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r < S )
230	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> S = sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
231	229, 230	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
232	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
233	232, 202, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> ( r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) <-> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w ) )
234	231, 233	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w )
235	234, 169	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
236	225, 235	reximddv 3018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
237	187, 236	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
238		ge0nemnf 12004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. RR* /\ 0 <_ S ) -> S =/= -oo )
239	29, 63, 238	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S =/= -oo )
240	29, 239	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S e. RR* /\ S =/= -oo ) )
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) -> ( S e. RR* /\ S =/= -oo ) )
242		xrnemnf 11951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. RR* /\ S =/= -oo ) <-> ( S e. RR \/ S = +oo ) )
243	241, 242	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) -> ( S e. RR \/ S = +oo ) )
244	181, 237, 243	mpjaodan 827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
245	244	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( S e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
246	70, 245	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
247		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u <-> S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
248		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
249	248	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) <-> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
250	249	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
251	247, 250	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) <-> ( S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
252	246, 251	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
253	252	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. v e. (ordTop ` <_ ) u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
254	69, 253	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
255	254	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
256		xrstset 19765	. . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) = (TopSet ` RR*s )
257	3, 256	resstset 16046	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) e. _V -> (ordTop ` <_ ) = (TopSet ` G ) )
258	67, 257	ax-mp 5	. . . . 5 |- (ordTop ` <_ ) = (TopSet ` G )
259	6, 258	topnval 16095	. . . 4 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) = ( TopOpen ` G )
260		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
261	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G e. CMnd )
262		xrstps 21013	. . . . . . 7 |- RR*s e. TopSp
263		resstps 20991	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s e. TopSp /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp )
264	262, 67, 263	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp
265	3, 264	eqeltri 2697	. . . . 5 |- G e. TopSp
266	265	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G e. TopSp )
267	6, 259, 260, 261, 266, 124, 12	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( S e. ( G tsums F ) <-> ( S e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) ) )
268	65, 255, 267	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> S e. ( G tsums F ) )
269		letsr 17227	. . . . 5 |- <_ e. TosetRel
270		ordthaus 21188	. . . . 5 |- ( <_ e. TosetRel -> (ordTop ` <_ ) e. Haus )
271	269, 270	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` <_ ) e. Haus )
272		resthaus 21172	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Haus /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V ) -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. Haus )
273	271, 67, 272	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. Haus )
274	6, 261, 266, 124, 12, 259, 273	haustsms2 21940	. 2 |- ( ph -> ( S e. ( G tsums F ) -> ( G tsums F ) = { S } ) )
275	268, 274	mpd 15	1 |- ( ph -> ( G tsums F ) = { S } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  TopSetcts 15947   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  ordTopcordt 16159   RR*scxrs 16160   TosetRel ctsr 17199  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193   Topctop 20698   TopSpctps 20736   Hauscha 21112   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  esumval  30108  esumel  30109  esumsnf  30126