Theorem xrge0tsms 22637

Description: Any finite or infinite sum in the nonnegative extended reals is uniquely convergent to the supremum of all finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 26-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0tsms.g	|- G = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
xrge0tsms.a	|- ( ph -> A e. V )
xrge0tsms.f	|- ( ph -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
xrge0tsms.s	|- S = sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
xrge0tsms	|- ( ph -> ( G tsums F ) = { S } )

Distinct variable groups:   A, s   F, s   ph, s   G, s

Allowed substitution hints:   S( s)   V( s)

Proof of Theorem xrge0tsms

Dummy variables r u v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0tsms.s	. . . . 5 |- S = sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < )
2		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
3		xrge0tsms.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
4		xrsbas 19762	. . . . . . . . . . . 12 |- RR* = ( Base ` RR*s )
5	3, 4	ressbas2 15931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` G ) )
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` G )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) = ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) )
8	7	xrge0subm 19787	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] +oo ) e. (SubMnd ` ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) )
9		xrex 11829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR* e. _V
10		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR* e. _V -> ( RR* \ { -oo } ) e. _V )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR* \ { -oo } ) e. _V
12		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) -> x e. RR* )
13		ge0nemnf 12004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) -> x =/= -oo )
14	12, 13	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) -> ( x e. RR* /\ x =/= -oo ) )
15		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) )
16		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( RR* \ { -oo } ) <-> ( x e. RR* /\ x =/= -oo ) )
17	14, 15, 16	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 [,] +oo ) -> x e. ( RR* \ { -oo } ) )
18	17	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] +oo ) C_ ( RR* \ { -oo } )
19		ressabs 15939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( RR* \ { -oo } ) e. _V /\ ( 0 [,] +oo ) C_ ( RR* \ { -oo } ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
20	11, 18, 19	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
21	3, 20	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ↾s ( 0 [,] +oo ) )
22	7	xrs10 19785	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 = ( 0g ` ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) )
23	21, 22	subm0 17356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] +oo ) e. (SubMnd ` ( RR*s ↾s ( RR* \ { -oo } ) ) ) -> 0 = ( 0g ` G ) )
24	8, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` G )
25		xrge0cmn 19788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd
26	3, 25	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- G e. CMnd
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
28		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( s C_ A /\ s e. Fin ) )
29	28	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) -> s e. Fin )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> s e. Fin )
31		xrge0tsms.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
32	28	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) -> s C_ A )
33		fssres 6070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> ( 0 [,] +oo ) /\ s C_ A ) -> ( F |` s ) : s --> ( 0 [,] +oo ) )
34	31, 32, 33	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` s ) : s --> ( 0 [,] +oo ) )
35		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> 0 e. _V )
37	34, 30, 36	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` s ) finSupp 0 )
38	6, 24, 27, 30, 34, 37	gsumcl 18316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
39	2, 38	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) e. RR* )
40		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) = ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) )
41	39, 40	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* )
42		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) : ( ~P A i^i Fin ) --> RR* -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
44		supxrcl 12145	. . . . . 6 |- ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
45	43, 44	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
46	1, 45	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR* )
47		0ss 3972	. . . . . . . 8 |- (/) C_ A
48		0fin 8188	. . . . . . . 8 |- (/) e. Fin
49		elfpw 8268	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( (/) C_ A /\ (/) e. Fin ) )
50	47, 48, 49	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- (/) e. ( ~P A i^i Fin )
51		0cn 10032	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
52		reseq2 5391	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = (/) -> ( F |` s ) = ( F |` (/) ) )
53		res0 5400	. . . . . . . . . . 11 |- ( F |` (/) ) = (/)
54	52, 53	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( s = (/) -> ( F |` s ) = (/) )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( s = (/) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = ( G gsumg (/) ) )
56	24	gsum0 17278	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg (/) ) = 0
57	55, 56	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( s = (/) -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = 0 )
58	40, 57	elrnmpt1s 5373	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ 0 e. CC ) -> 0 e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) )
59	50, 51, 58	mp2an 708	. . . . . 6 |- 0 e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) )
60		supxrub 12154	. . . . . 6 |- ( ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* /\ 0 e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) ) -> 0 <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
61	43, 59, 60	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
62	61, 1	syl6breqr 4695	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ S )
63		elxrge0 12281	. . . 4 |- ( S e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( S e. RR* /\ 0 <_ S ) )
64	46, 62, 63	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> S e. ( 0 [,] +oo ) )
65		letop 21010	. . . . . 6 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
66		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) e. _V
67		elrest 16088	. . . . . 6 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V ) -> ( u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) <-> E. v e. (ordTop ` <_ ) u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
68	65, 66, 67	mp2an 708	. . . . 5 |- ( u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) <-> E. v e. (ordTop ` <_ ) u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
69		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) C_ v
70	69	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> S e. v )
71		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> v e. (ordTop ` <_ ) )
72		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
73		elrestr 16089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ RR e. _V /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( v i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
74	65, 72, 73	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. (ordTop ` <_ ) -> ( v i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
75	71, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( v i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
77	76	xrtgioo 22609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
78	75, 77	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( v i^i RR ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
79		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> S e. v )
80		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> S e. RR )
81	79, 80	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> S e. ( v i^i RR ) )
82		tg2 20769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( v i^i RR ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ S e. ( v i^i RR ) ) -> E. u e. ran (,) ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) )
83	78, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> E. u e. ran (,) ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) )
84		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
85		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
86		ovelrn 6810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( u e. ran (,) <-> E. r e. RR* E. w e. RR* u = ( r (,) w ) ) )
87	84, 85, 86	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ran (,) <-> E. r e. RR* E. w e. RR* u = ( r (,) w ) )
88		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) )
90		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( v i^i RR ) C_ v
91	89, 90	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( r (,) w ) C_ v )
92	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> G e. CMnd )
93		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
94		elfpw 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( y C_ A /\ y e. Fin ) )
95	94	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
96	93, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> y e. Fin )
97		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ph )
98	97, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
99	94	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
100	93, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> y C_ A )
101	98, 100	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( 0 [,] +oo ) )
102	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> 0 e. _V )
103	101, 96, 102	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` y ) finSupp 0 )
104	6, 24, 92, 96, 101, 103	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105	2, 104	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* )
106		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> r e. RR* )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> r e. RR* )
108		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> z C_ y )
109		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. Fin /\ z C_ y ) -> z e. Fin )
110	96, 108, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> z e. Fin )
111	108, 100	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> z C_ A )
112	98, 111	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` z ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
113	112, 110, 102	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( F |` z ) finSupp 0 )
114	6, 24, 92, 110, 112, 113	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
115	2, 114	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. RR* )
116		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
117		xrge0tsms.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> A e. V )
118	97, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> A e. V )
119	3, 118, 98, 93, 108	xrge0gsumle 22636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) <_ ( G gsumg ( F |` y ) ) )
120	107, 115, 105, 116, 119	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` y ) ) )
121	97, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> S e. RR* )
122		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> w e. RR* )
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> w e. RR* )
124	97, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
125		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( G gsumg ( F |` y ) ) e. _V
126		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( s = y -> ( F |` s ) = ( F |` y ) )
127	126	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( s = y -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = ( G gsumg ( F |` y ) ) )
128	40, 127	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. _V ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) )
129	93, 125, 128	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) )
130		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
131	124, 129, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
132	131, 1	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ S )
133		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> S e. ( r (,) w ) )
134		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( S e. ( r (,) w ) -> ( r < S /\ S < w ) )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ( r < S /\ S < w ) )
136	135	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> S < w )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> S < w )
138	105, 121, 123, 132, 137	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) < w )
139		elioo1 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,) w ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) < w ) ) )
140	107, 123, 139	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,) w ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) < w ) ) )
141	105, 120, 138, 140	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,) w ) )
142	91, 141	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. v )
143	142, 104	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
144	143	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
145	144	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
146	145	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
147	135	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> r < S )
148	147, 1	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
149	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
150		supxrlub 12155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* /\ r e. RR* ) -> ( r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) <-> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w ) )
151	149, 106, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> ( r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) <-> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w ) )
152	148, 151	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w )
153		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G gsumg ( F |` z ) ) e. _V
154	153	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( G gsumg ( F |` z ) ) e. _V
155		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s = z -> ( F |` s ) = ( F |` z ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s = z -> ( G gsumg ( F |` s ) ) = ( G gsumg ( F |` z ) ) )
157	156	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) = ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` z ) ) )
158		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( G gsumg ( F |` z ) ) -> ( r < w <-> r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) )
159	157, 158	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. ( ~P A i^i Fin ) ( G gsumg ( F |` z ) ) e. _V -> ( E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) )
160	154, 159	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
161	152, 160	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
162	146, 161	reximddv 3018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( ( r e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
163	162	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( r e. RR* /\ w e. RR* ) ) -> ( ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
164		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( S e. u <-> S e. ( r (,) w ) ) )
165		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( u C_ ( v i^i RR ) <-> ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) )
166	164, 165	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) <-> ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) ) )
167	166	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( r (,) w ) -> ( ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) <-> ( ( S e. ( r (,) w ) /\ ( r (,) w ) C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
168	163, 167	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) /\ ( r e. RR* /\ w e. RR* ) ) -> ( u = ( r (,) w ) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
169	168	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( E. r e. RR* E. w e. RR* u = ( r (,) w ) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
170	87, 169	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( u e. ran (,) -> ( ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
171	170	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> ( E. u e. ran (,) ( S e. u /\ u C_ ( v i^i RR ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
172	83, 171	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S e. RR ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
173		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> v e. (ordTop ` <_ ) )
174		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> S = +oo )
175		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> S e. v )
176	174, 175	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> +oo e. v )
177		pnfnei 21024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ +oo e. v ) -> E. r e. RR ( r (,] +oo ) C_ v )
178	173, 176, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> E. r e. RR ( r (,] +oo ) C_ v )
179		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> ( r (,] +oo ) C_ v )
180	179	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( r (,] +oo ) C_ v )
181	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> G e. CMnd )
182	95	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> y e. Fin )
183		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ph )
184	183, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> F : A --> ( 0 [,] +oo ) )
185	99	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> y C_ A )
186	184, 185	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` y ) : y --> ( 0 [,] +oo ) )
187	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> 0 e. _V )
188	186, 182, 187	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` y ) finSupp 0 )
189	6, 24, 181, 182, 186, 188	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
190	2, 189	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* )
191		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r e. RR -> r e. RR* )
192	191	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r e. RR* )
193	192	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> r e. RR* )
194		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> z C_ y )
195	182, 194, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> z e. Fin )
196	194, 185	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> z C_ A )
197	184, 196	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` z ) : z --> ( 0 [,] +oo ) )
198	197, 195, 187	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( F |` z ) finSupp 0 )
199	6, 24, 181, 195, 197, 198	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
200	2, 199	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) e. RR* )
201		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
202	183, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> A e. V )
203		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
204	3, 202, 184, 203, 194	xrge0gsumle 22636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` z ) ) <_ ( G gsumg ( F |` y ) ) )
205	193, 200, 190, 201, 204	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> r < ( G gsumg ( F |` y ) ) )
206		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo )
207	190, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo )
208		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- +oo e. RR*
209		elioc1 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( r e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,] +oo ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo ) ) )
210	193, 208, 209	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,] +oo ) <-> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. RR* /\ r < ( G gsumg ( F |` y ) ) /\ ( G gsumg ( F |` y ) ) <_ +oo ) ) )
211	190, 205, 207, 210	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( r (,] +oo ) )
212	180, 211	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. v )
213	212, 189	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ z C_ y ) ) -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) )
214	213	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
215	214	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) /\ ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ r < ( G gsumg ( F |` z ) ) ) ) -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
216		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR -> r < +oo )
217	216	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r < +oo )
218		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> S = +oo )
219	217, 218	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r < S )
220	219, 1	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) )
221	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) C_ RR* )
222	221, 192, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> ( r < sup ( ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) , RR* , < ) <-> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w ) )
223	220, 222	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> E. w e. ran ( s e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( G gsumg ( F |` s ) ) ) r < w )
224	223, 160	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) r < ( G gsumg ( F |` z ) ) )
225	215, 224	reximddv 3018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) /\ ( r e. RR /\ ( r (,] +oo ) C_ v ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
226	178, 225	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) /\ S = +oo ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
227		ge0nemnf 12004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. RR* /\ 0 <_ S ) -> S =/= -oo )
228	46, 62, 227	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S =/= -oo )
229	46, 228	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S e. RR* /\ S =/= -oo ) )
230	229	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) -> ( S e. RR* /\ S =/= -oo ) )
231		xrnemnf 11951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. RR* /\ S =/= -oo ) <-> ( S e. RR \/ S = +oo ) )
232	230, 231	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) -> ( S e. RR \/ S = +oo ) )
233	172, 226, 232	mpjaodan 827	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( v e. (ordTop ` <_ ) /\ S e. v ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
234	233	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( S e. v -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
235	70, 234	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
236		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u <-> S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
237		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u <-> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) )
238	237	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) <-> ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
239	238	rexralbidv 3058	. . . . . . . 8 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) <-> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) )
240	236, 239	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) <-> ( S e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) ) ) ) )
241	235, 240	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
242	241	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. v e. (ordTop ` <_ ) u = ( v i^i ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
243	68, 242	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) -> ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) )
244	243	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) )
245		xrstset 19765	. . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) = (TopSet ` RR*s )
246	3, 245	resstset 16046	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) e. _V -> (ordTop ` <_ ) = (TopSet ` G ) )
247	66, 246	ax-mp 5	. . . . 5 |- (ordTop ` <_ ) = (TopSet ` G )
248	6, 247	topnval 16095	. . . 4 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) = ( TopOpen ` G )
249		eqid 2622	. . . 4 |- ( ~P A i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin )
250	26	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G e. CMnd )
251		xrstps 21013	. . . . . . 7 |- RR*s e. TopSp
252		resstps 20991	. . . . . . 7 |- ( ( RR*s e. TopSp /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp )
253	251, 66, 252	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp
254	3, 253	eqeltri 2697	. . . . 5 |- G e. TopSp
255	254	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> G e. TopSp )
256	6, 248, 249, 250, 255, 117, 31	eltsms 21936	. . 3 |- ( ph -> ( S e. ( G tsums F ) <-> ( S e. ( 0 [,] +oo ) /\ A. u e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) ( S e. u -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) A. y e. ( ~P A i^i Fin ) ( z C_ y -> ( G gsumg ( F |` y ) ) e. u ) ) ) ) )
257	64, 244, 256	mpbir2and 957	. 2 |- ( ph -> S e. ( G tsums F ) )
258		letsr 17227	. . . . 5 |- <_ e. TosetRel
259		ordthaus 21188	. . . . 5 |- ( <_ e. TosetRel -> (ordTop ` <_ ) e. Haus )
260	258, 259	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` <_ ) e. Haus )
261		resthaus 21172	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Haus /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V ) -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. Haus )
262	260, 66, 261	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` <_ ) ↾t ( 0 [,] +oo ) ) e. Haus )
263	6, 250, 255, 117, 31, 248, 262	haustsms2 21940	. 2 |- ( ph -> ( S e. ( G tsums F ) -> ( G tsums F ) = { S } ) )
264	257, 263	mpd 15	1 |- ( ph -> ( G tsums F ) = { S } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  TopSetcts 15947   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  ordTopcordt 16159   RR*scxrs 16160   TosetRel ctsr 17199  SubMndcsubmnd 17334  CMndccmn 18193   Topctop 20698   TopSpctps 20736   Hauscha 21112   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  xrge0tsms2  22638  sge0tsms  40597