Theorem rhmsubcrngclem2 42028

Description: Lemma 2 for rhmsubcrngc 42029. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcrngc.c	|- C = (RngCat ` U )
rhmsubcrngc.u	|- ( ph -> U e. V )
rhmsubcrngc.b	|- ( ph -> B = ( Ring i^i U ) )
rhmsubcrngc.h	|- ( ph -> H = ( RingHom |` ( B X. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcrngclem2	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x H z ) )

Distinct variable groups:   B, f, g, x, y, z   C, f, g, x, y, z   f, H, g, x, y, z   x, U, y   ph, f, g, x, y, z

Allowed substitution hints:   U( z, f, g)   V( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem rhmsubcrngclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ph )
2	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ph )
3		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y e. B /\ z e. B ) )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( y e. B /\ z e. B ) )
5		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> g e. ( y H z ) )
6		rhmsubcrngc.h	. . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( RingHom |` ( B X. B ) ) )
7	6	rhmresel 42010	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g e. ( y RingHom z ) )
8	2, 4, 5, 7	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> g e. ( y RingHom z ) )
9		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
10		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> y e. B )
11	9, 10	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
13		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> f e. ( x H y ) )
14	6	rhmresel 42010	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f e. ( x RingHom y ) )
15	2, 12, 13, 14	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> f e. ( x RingHom y ) )
16		rhmco 18737	. . . . 5 |- ( ( g e. ( y RingHom z ) /\ f e. ( x RingHom y ) ) -> ( g o. f ) e. ( x RingHom z ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g o. f ) e. ( x RingHom z ) )
18		rhmsubcrngc.c	. . . . 5 |- C = (RngCat ` U )
19		rhmsubcrngc.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. V )
20	19	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> U e. V )
21	20	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> U e. V )
22		eqid 2622	. . . . 5 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
23		rhmsubcrngc.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B = ( Ring i^i U ) )
24	23	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. B <-> x e. ( Ring i^i U ) ) )
25		elinel2 3800	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( Ring i^i U ) -> x e. U )
26	24, 25	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. B -> x e. U ) )
27	26	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. U )
28	27	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> x e. U )
29	23	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. B <-> y e. ( Ring i^i U ) ) )
30		elinel2 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( Ring i^i U ) -> y e. U )
31	29, 30	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. B -> y e. U ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. B -> y e. U ) )
33	32	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( ( ph /\ x e. B ) -> y e. U ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ph /\ x e. B ) -> y e. U ) )
35	34	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. U )
36	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> y e. U )
37	23	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. B <-> z e. ( Ring i^i U ) ) )
38		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( Ring i^i U ) -> z e. U )
39	37, 38	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. B -> z e. U ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( z e. B -> z e. U ) )
41	40	adantld 483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( y e. B /\ z e. B ) -> z e. U ) )
42	41	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. U )
43	42	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> z e. U )
44		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) -> ph )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> ph )
46	9	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. B ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
47	46	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f e. ( x H y ) )
50	45, 48, 49, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f e. ( x RingHom y ) )
51		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` x ) = ( Base ` x )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` y ) = ( Base ` y )
53	51, 52	rhmf 18726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( x RingHom y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) )
54	50, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( ph /\ x e. B ) ) /\ f e. ( x H y ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) )
55	54	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> ( ( ph /\ x e. B ) -> ( f e. ( x H y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( ( ph /\ x e. B ) -> ( f e. ( x H y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) ) )
57	56	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( f e. ( x H y ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) )
58	57	com12 32	. . . . . . 7 |- ( f e. ( x H y ) -> ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) ) )
60	59	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> f : ( Base ` x ) --> ( Base ` y ) )
61	7	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g e. ( y RingHom z ) )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` z ) = ( Base ` z )
63	52, 62	rhmf 18726	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( y RingHom z ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) )
64	61, 63	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) )
65	64	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( y H z ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) )
66	65	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( g e. ( y H z ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) )
67	66	adantld 483	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) ) )
68	67	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> g : ( Base ` y ) --> ( Base ` z ) )
69	18, 21, 22, 28, 36, 43, 60, 68	rngcco 41971	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) = ( g o. f ) )
70	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> H = ( RingHom |` ( B X. B ) ) )
71	70	oveqdr 6674	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x H z ) = ( x ( RingHom |` ( B X. B ) ) z ) )
72		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ z e. B ) -> ( x ( RingHom |` ( B X. B ) ) z ) = ( x RingHom z ) )
73	72	ad2ant2l 782	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x ( RingHom |` ( B X. B ) ) z ) = ( x RingHom z ) )
74	71, 73	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x H z ) = ( x RingHom z ) )
75	74	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x RingHom z ) )
76	17, 69, 75	3eltr4d 2716	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) /\ ( f e. ( x H y ) /\ g e. ( y H z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x H z ) )
77	76	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x H z ) )
78	77	ralrimivva 2971	1 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B A. f e. ( x H y ) A. g e. ( y H z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x H z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   <.cop 4183   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  compcco 15953   Ringcrg 18547   RingHom crh 18712  RngCatcrngc 41957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-resc 16471  df-estrc 16763  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-rnghom 18715  df-rnghomo 41887  df-rngc 41959

This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  42029