Theorem ringacl 18578

Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringacl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem ringacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 18552	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
2		ringacl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ringacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
4	2, 3	grpcl 17430	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1359	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  ringcom  18579  ringlghm  18604  ringrghm  18605  imasring  18619  qusring2  18620  cntzsubr  18812  srngadd  18857  issrngd  18861  lmodprop2d  18925  prdslmodd  18969  psrlmod  19401  mpfind  19536  coe1add  19634  ip2subdi  19989  mat1ghm  20289  scmatghm  20339  mdetrlin2  20413  mdetunilem5  20422  cpmatacl  20521  mdegaddle  23834  deg1addle2  23862  deg1add  23863  ply1divex  23896  dvhlveclem  36397  baerlem3lem1  36996  mendlmod  37763  cznrng  41955  lmod1lem3  42278