Theorem ply1divex 23896

Description: Lemma for ply1divalg 23897: existence part. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	|- P = (Poly1 ` R )
ply1divalg.d	|- D = ( deg1 ` R )
ply1divalg.b	|- B = ( Base ` P )
ply1divalg.m	|- .- = ( -g ` P )
ply1divalg.z	|- .0. = ( 0g ` P )
ply1divalg.t	|- .xb = ( .r ` P )
ply1divalg.r1	|- ( ph -> R e. Ring )
ply1divalg.f	|- ( ph -> F e. B )
ply1divalg.g1	|- ( ph -> G e. B )
ply1divalg.g2	|- ( ph -> G =/= .0. )
ply1divex.o	|- .1. = ( 1r ` R )
ply1divex.k	|- K = ( Base ` R )
ply1divex.u	|- .x. = ( .r ` R )
ply1divex.i	|- ( ph -> I e. K )
ply1divex.g3	|- ( ph -> ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. I ) = .1. )

Assertion

Ref	Expression
ply1divex	|- ( ph -> E. q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )

Distinct variable groups:   .0. , q   F, q   I, q   P, q   R, q   .- , q   B, q   .xb , q   D, q   G, q   ph, q   .x. , q

Allowed substitution hints:   .1. ( q)   K( q)

Proof of Theorem ply1divex

Dummy variables d f r a g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( F = .0. -> ( D ` F ) = ( D ` .0. ) )
2	1	breq1d 4663	. . . 4 |- ( F = .0. -> ( ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) <-> ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
3	2	rexbidv 3052	. . 3 |- ( F = .0. -> ( E. d e. NN0 ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) <-> E. d e. NN0 ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
4		nnssnn0 11295	. . . . 5 |- NN C_ NN0
5		ply1divalg.r1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Ring )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> R e. Ring )
7		ply1divalg.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. B )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> F e. B )
9		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> F =/= .0. )
10		ply1divalg.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( deg1 ` R )
11		ply1divalg.p	. . . . . . . . . 10 |- P = (Poly1 ` R )
12		ply1divalg.z	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` P )
13		ply1divalg.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` P )
14	10, 11, 12, 13	deg1nn0cl 23848	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ F =/= .0. ) -> ( D ` F ) e. NN0 )
15	6, 8, 9, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> ( D ` F ) e. NN0 )
16	15	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> ( D ` F ) e. RR )
17		ply1divalg.g1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. B )
18		ply1divalg.g2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G =/= .0. )
19	10, 11, 12, 13	deg1nn0cl 23848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ G e. B /\ G =/= .0. ) -> ( D ` G ) e. NN0 )
20	5, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D ` G ) e. NN0 )
21	20	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D ` G ) e. RR )
22	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> ( D ` G ) e. RR )
23	16, 22	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) e. RR )
24		arch 11289	. . . . . 6 |- ( ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) e. RR -> E. d e. NN ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d )
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> E. d e. NN ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d )
26		ssrexv 3667	. . . . 5 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. d e. NN ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d -> E. d e. NN0 ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d ) )
27	4, 25, 26	mpsyl 68	. . . 4 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> E. d e. NN0 ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d )
28	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F =/= .0. ) /\ d e. NN0 ) -> ( D ` F ) e. RR )
29	21	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F =/= .0. ) /\ d e. NN0 ) -> ( D ` G ) e. RR )
30		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( d e. NN0 -> d e. RR )
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F =/= .0. ) /\ d e. NN0 ) -> d e. RR )
32	28, 29, 31	ltsubadd2d 10625	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ F =/= .0. ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d <-> ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
33	32	biimpd 219	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ F =/= .0. ) /\ d e. NN0 ) -> ( ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d -> ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
34	33	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> ( E. d e. NN0 ( ( D ` F ) - ( D ` G ) ) < d -> E. d e. NN0 ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
35	27, 34	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ F =/= .0. ) -> E. d e. NN0 ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) )
36		0nn0 11307	. . . 4 |- 0 e. NN0
37	10, 11, 12	deg1z 23847	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( D ` .0. ) = -oo )
38	5, 37	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` .0. ) = -oo )
39		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
40		readdcl 10019	. . . . . . 7 |- ( ( ( D ` G ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( D ` G ) + 0 ) e. RR )
41	21, 39, 40	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D ` G ) + 0 ) e. RR )
42		mnflt 11957	. . . . . 6 |- ( ( ( D ` G ) + 0 ) e. RR -> -oo < ( ( D ` G ) + 0 ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> -oo < ( ( D ` G ) + 0 ) )
44	38, 43	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + 0 ) )
45		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( d = 0 -> ( ( D ` G ) + d ) = ( ( D ` G ) + 0 ) )
46	45	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( d = 0 -> ( ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + d ) <-> ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + 0 ) ) )
47	46	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( 0 e. NN0 /\ ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + 0 ) ) -> E. d e. NN0 ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + d ) )
48	36, 44, 47	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> E. d e. NN0 ( D ` .0. ) < ( ( D ` G ) + d ) )
49	3, 35, 48	pm2.61ne 2879	. 2 |- ( ph -> E. d e. NN0 ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) )
50	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> F e. B )
51		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( a = 0 -> ( ( D ` G ) + a ) = ( ( D ` G ) + 0 ) )
52	51	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( a = 0 -> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) <-> ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) ) )
53	52	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
54	53	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
55	54	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) )
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( ( D ` G ) + a ) = ( ( D ` G ) + d ) )
57	56	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) <-> ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
58	57	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( a = d -> ( ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
59	58	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( a = d -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
60	59	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = d -> ( ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) )
61		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( ( D ` G ) + a ) = ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) )
62	61	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) <-> ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) )
63	62	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
64	63	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
65	64	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + a ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) )
66	11	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
67	5, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. Ring )
68	13, 12	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Ring -> .0. e. B )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .0. e. B )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) ) -> .0. e. B )
71		ply1divalg.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .xb = ( .r ` P )
72	13, 71, 12	ringrz 18588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. Ring /\ G e. B ) -> ( G .xb .0. ) = .0. )
73	67, 17, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G .xb .0. ) = .0. )
74	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( f .- ( G .xb .0. ) ) = ( f .- .0. ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( f .- ( G .xb .0. ) ) = ( f .- .0. ) )
76		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. Ring -> P e. Grp )
77	67, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. Grp )
78		ply1divalg.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .- = ( -g ` P )
79	13, 12, 78	grpsubid1 17500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Grp /\ f e. B ) -> ( f .- .0. ) = f )
80	77, 79	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( f .- .0. ) = f )
81	75, 80	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> f = ( f .- ( G .xb .0. ) ) )
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( D ` f ) = ( D ` ( f .- ( G .xb .0. ) ) ) )
83	20	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( D ` G ) e. CC )
84	83	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( D ` G ) + 0 ) = ( D ` G ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( D ` G ) + 0 ) = ( D ` G ) )
86	82, 85	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) <-> ( D ` ( f .- ( G .xb .0. ) ) ) < ( D ` G ) ) )
87	86	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) ) -> ( D ` ( f .- ( G .xb .0. ) ) ) < ( D ` G ) )
88		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = .0. -> ( G .xb q ) = ( G .xb .0. ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = .0. -> ( f .- ( G .xb q ) ) = ( f .- ( G .xb .0. ) ) )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = .0. -> ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) = ( D ` ( f .- ( G .xb .0. ) ) ) )
91	90	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( q = .0. -> ( ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( f .- ( G .xb .0. ) ) ) < ( D ` G ) ) )
92	91	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( .0. e. B /\ ( D ` ( f .- ( G .xb .0. ) ) ) < ( D ` G ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )
93	70, 87, 92	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. B ) /\ ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )
94	93	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. B ) -> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
95	94	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + 0 ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
96		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( D ` G ) e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( ( D ` G ) + d ) e. NN0 )
97	20, 96	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( D ` G ) + d ) e. NN0 )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` G ) + d ) e. NN0 )
99	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> R e. Ring )
100		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> g e. B )
101	10, 11, 13	deg1cl 23843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g e. B -> ( D ` g ) e. ( NN0 u. { -oo } ) )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( D ` g ) e. ( NN0 u. { -oo } ) )
103	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( D ` G ) e. NN0 )
104		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN0 )
105	104	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( d + 1 ) e. NN0 )
106	103, 105	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) e. NN0 )
107	106	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) e. ZZ )
108		degltlem1 23832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( D ` g ) e. ( NN0 u. { -oo } ) /\ ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) <-> ( D ` g ) <_ ( ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) - 1 ) ) )
109	102, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) <-> ( D ` g ) <_ ( ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) - 1 ) ) )
110	109	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> ( D ` g ) <_ ( ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) - 1 ) ) )
111	110	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( D ` g ) <_ ( ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) - 1 ) )
112	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( D ` G ) e. NN0 )
113	112	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( D ` G ) e. CC )
114		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d e. NN0 -> d e. CC )
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> d e. CC )
116		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d e. CC -> ( d + 1 ) e. CC )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( d + 1 ) e. CC )
118		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> 1 e. CC )
119	113, 117, 118	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) - 1 ) = ( ( D ` G ) + ( ( d + 1 ) - 1 ) ) )
120		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. CC
121		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( d e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( d + 1 ) - 1 ) = d )
122	115, 120, 121	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( d + 1 ) - 1 ) = d )
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( D ` G ) + ( ( d + 1 ) - 1 ) ) = ( ( D ` G ) + d ) )
124	119, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) - 1 ) = ( ( D ` G ) + d ) )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) - 1 ) = ( ( D ` G ) + d ) )
126	111, 125	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( D ` g ) <_ ( ( D ` G ) + d ) )
127	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> P e. Ring )
128	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> G e. B )
129	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> R e. Ring )
130		ply1divex.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> I e. K )
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> I e. K )
132		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (coe1 ` g ) = (coe1 ` g )
133		ply1divex.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- K = ( Base ` R )
134	132, 13, 11, 133	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( g e. B -> (coe1 ` g ) : NN0 --> K )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> (coe1 ` g ) : NN0 --> K )
136		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> d e. NN0 )
137	103, 136	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( D ` G ) + d ) e. NN0 )
138	135, 137	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) e. K )
139		ply1divex.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- .x. = ( .r ` R )
140	133, 139	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Ring /\ I e. K /\ ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) e. K ) -> ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) e. K )
141	129, 131, 138, 140	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) e. K )
142		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (var1 ` R ) = (var1 ` R )
143		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .s ` P ) = ( .s ` P )
144		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
145		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (.g ` (mulGrp ` P ) ) = (.g ` (mulGrp ` P ) )
146	133, 11, 142, 143, 144, 145, 13	ply1tmcl 19642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Ring /\ ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) e. K /\ d e. NN0 ) -> ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) e. B )
147	129, 141, 136, 146	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) e. B )
148	13, 71	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Ring /\ G e. B /\ ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) e. B ) -> ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B )
149	127, 128, 147, 148	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B )
150	149	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B )
151	103	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( D ` G ) e. RR )
152	151	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( D ` G ) <_ ( D ` G ) )
153	10, 133, 11, 142, 143, 144, 145	deg1tmle 23877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. Ring /\ ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) e. K /\ d e. NN0 ) -> ( D ` ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) <_ d )
154	129, 141, 136, 153	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( D ` ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) <_ d )
155	11, 10, 129, 13, 71, 128, 147, 103, 136, 152, 154	deg1mulle2 23869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( D ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) <_ ( ( D ` G ) + d ) )
156	155	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( D ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) <_ ( ( D ` G ) + d ) )
157		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (coe1 ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) = (coe1 ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) )
158		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
159	158, 133, 11, 142, 143, 144, 145, 13, 71, 139, 128, 129, 141, 136, 103	coe1tmmul2fv 19648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( (coe1 ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ` ( d + ( D ` G ) ) ) = ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ) )
160	103	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( D ` G ) e. CC )
161	114	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> d e. CC )
162	160, 161	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( D ` G ) + d ) = ( d + ( D ` G ) ) )
163	162	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( (coe1 ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) = ( (coe1 ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ` ( d + ( D ` G ) ) ) )
164		ply1divex.g3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. I ) = .1. )
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. I ) .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) = ( .1. .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) )
166	165	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. I ) .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) = ( .1. .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) )
167		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (coe1 ` G ) = (coe1 ` G )
168	167, 13, 11, 133	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( G e. B -> (coe1 ` G ) : NN0 --> K )
169	17, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> (coe1 ` G ) : NN0 --> K )
170	169	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> (coe1 ` G ) : NN0 --> K )
171	170, 103	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) e. K )
172	133, 139	ringass 18564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) e. K /\ I e. K /\ ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) e. K ) ) -> ( ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. I ) .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) = ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ) )
173	129, 171, 131, 138, 172	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. I ) .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) = ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ) )
174		ply1divex.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- .1. = ( 1r ` R )
175	133, 139, 174	ringlidm 18571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. Ring /\ ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) e. K ) -> ( .1. .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) = ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) )
176	129, 138, 175	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( .1. .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) = ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) )
177	166, 173, 176	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) = ( ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) .x. ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ) )
178	159, 163, 177	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) = ( (coe1 ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) )
179	178	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) = ( (coe1 ` ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) )
180	10, 11, 13, 78, 98, 99, 100, 126, 150, 156, 132, 157, 179	deg1sublt 23870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( D ` ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) < ( ( D ` G ) + d ) )
181	180	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( D ` ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) < ( ( D ` G ) + d ) )
182	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> P e. Grp )
183		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> g e. B )
184	13, 78	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Grp /\ g e. B /\ ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B ) -> ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) e. B )
185	182, 183, 149, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) e. B )
186	185	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) e. B )
187	186	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) e. B )
188		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
189		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) -> ( D ` f ) = ( D ` ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) )
190	189	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) -> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) <-> ( D ` ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
191		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) -> ( f .- ( G .xb q ) ) = ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) )
192	191	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) -> ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) = ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) )
193	192	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) -> ( ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
194	193	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) -> ( E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
195	190, 194	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) -> ( ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( ( D ` ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
196	195	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) e. B /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> ( ( D ` ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
197	187, 188, 196	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( ( D ` ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
198	181, 197	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )
199	67	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> P e. Ring )
200		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> q e. B )
201	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) e. B )
202		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
203	13, 202	ringacl 18578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. Ring /\ q e. B /\ ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) e. B ) -> ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B )
204	199, 200, 201, 203	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B )
205	77	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> P e. Grp )
206		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> g e. B )
207	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B )
208	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> G e. B )
209	13, 71	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. Ring /\ G e. B /\ q e. B ) -> ( G .xb q ) e. B )
210	199, 208, 200, 209	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( G .xb q ) e. B )
211	13, 202, 78	grpsubsub4 17508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. Grp /\ ( g e. B /\ ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B /\ ( G .xb q ) e. B ) ) -> ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) = ( g .- ( ( G .xb q ) ( +g ` P ) ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) )
212	205, 206, 207, 210, 211	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) = ( g .- ( ( G .xb q ) ( +g ` P ) ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) )
213	13, 202, 71	ringdi 18566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. Ring /\ ( G e. B /\ q e. B /\ ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) e. B ) ) -> ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) = ( ( G .xb q ) ( +g ` P ) ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) )
214	199, 208, 200, 201, 213	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) = ( ( G .xb q ) ( +g ` P ) ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) )
215	214	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) = ( g .- ( ( G .xb q ) ( +g ` P ) ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) )
216	212, 215	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) = ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) )
217	216	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) = ( D ` ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) ) )
218	217	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
219	218	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) -> ( D ` ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
220		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) -> ( G .xb r ) = ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) )
221	220	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) -> ( g .- ( G .xb r ) ) = ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) )
222	221	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) -> ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) = ( D ` ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) ) )
223	222	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) -> ( ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
224	223	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) e. B /\ ( D ` ( g .- ( G .xb ( q ( +g ` P ) ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) ) ) < ( D ` G ) ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) )
225	204, 219, 224	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) /\ q e. B ) -> ( ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
226	225	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ g e. B ) -> ( E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
227	226	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
228	227	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> ( E. q e. B ( D ` ( ( g .- ( G .xb ( ( I .x. ( (coe1 ` g ) ` ( ( D ` G ) + d ) ) ) ( .s ` P ) ( d (.g ` (mulGrp ` P ) ) (var1 ` R ) ) ) ) ) .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
229	198, 228	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ ( g e. B /\ ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) )
230	229	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) /\ g e. B ) -> ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
231	230	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) -> A. g e. B ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
232		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( D ` g ) = ( D ` f ) )
233	232	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) <-> ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) ) )
234		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> ( g .- ( G .xb r ) ) = ( f .- ( G .xb r ) ) )
235	234	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) = ( D ` ( f .- ( G .xb r ) ) ) )
236	235	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( f .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
237	236	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) <-> E. r e. B ( D ` ( f .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
238		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = q -> ( G .xb r ) = ( G .xb q ) )
239	238	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = q -> ( f .- ( G .xb r ) ) = ( f .- ( G .xb q ) ) )
240	239	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = q -> ( D ` ( f .- ( G .xb r ) ) ) = ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) )
241	240	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = q -> ( ( D ` ( f .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
242	241	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. r e. B ( D ` ( f .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) <-> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )
243	237, 242	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = f -> ( E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) <-> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
244	233, 243	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = f -> ( ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
245	244	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. g e. B ( ( D ` g ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. r e. B ( D ` ( g .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
246	231, 245	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d e. NN0 /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
247	246	exp32 631	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( d e. NN0 -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) )
248	247	com12 32	. . . . . . 7 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) )
249	248	a2d 29	. . . . . 6 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + ( d + 1 ) ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) ) )
250	55, 60, 65, 60, 95, 249	nn0ind 11472	. . . . 5 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
251	250	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
252		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( D ` f ) = ( D ` F ) )
253	252	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) <-> ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) ) )
254		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f .- ( G .xb q ) ) = ( F .- ( G .xb q ) ) )
255	254	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) = ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) )
256	255	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
257	256	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> E. q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
258	253, 257	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) <-> ( ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
259	258	rspcva 3307	. . . 4 |- ( ( F e. B /\ A. f e. B ( ( D ` f ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( f .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> ( ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
260	50, 251, 259	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
261	260	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. d e. NN0 ( D ` F ) < ( ( D ` G ) + d ) -> E. q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) ) )
262	49, 261	mpd 15	1 |- ( ph -> E. q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   -oocmnf 10072   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  ply1divalg  23897