Theorem mdetunilem5 20422

Description: Lemma for mdetuni 20428. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	|- A = ( N Mat R )
mdetuni.b	|- B = ( Base ` A )
mdetuni.k	|- K = ( Base ` R )
mdetuni.0g	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetuni.1r	|- .1. = ( 1r ` R )
mdetuni.pg	|- .+ = ( +g ` R )
mdetuni.tg	|- .x. = ( .r ` R )
mdetuni.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetuni.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdetuni.ff	|- ( ph -> D : B --> K )
mdetuni.al	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
mdetuni.li	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
mdetuni.sc	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
mdetunilem5.ph	|- ( ps -> ph )
mdetunilem5.e	|- ( ps -> E e. N )
mdetunilem5.fgh	|- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( F e. K /\ G e. K /\ H e. K ) )

Assertion

Ref	Expression
mdetunilem5	|- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z, w, a, b   x, B, y, z, w, a, b   x, K, y, z, w, a, b   x, N, y, z, w, a, b   x, D, y, z, w, a, b   x, .x. , y, z, w   .+ , a, b, x, y, z, w   .0. , a, b, x, y, z, w   .1. , a, b, x, y, z, w   x, R, y, z, w   A, a, b, x, y, z, w   x, E, y, z, w   x, F, y, z, w   x, G, y, z, w   x, H, y, z, w   ps, a, b, x, y, z, w   E, a, b

Allowed substitution hints:   R( a, b)   .x. ( a, b)   F( a, b)   G( a, b)   H( a, b)

Proof of Theorem mdetunilem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetunilem5.ph	. 2 |- ( ps -> ph )
2		mdetuni.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
3		mdetuni.k	. . 3 |- K = ( Base ` R )
4		mdetuni.b	. . 3 |- B = ( Base ` A )
5		mdetuni.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. Fin )
6	1, 5	syl 17	. . 3 |- ( ps -> N e. Fin )
7		mdetuni.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
8	1, 7	syl 17	. . 3 |- ( ps -> R e. Ring )
9	8	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> R e. Ring )
10		mdetunilem5.fgh	. . . . . 6 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( F e. K /\ G e. K /\ H e. K ) )
11	10	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> F e. K )
12	10	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> G e. K )
13		mdetuni.pg	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
14	3, 13	ringacl 18578	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. K /\ G e. K ) -> ( F .+ G ) e. K )
15	9, 11, 12, 14	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( F .+ G ) e. K )
16	10	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> H e. K )
17	15, 16	ifcld 4131	. . 3 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) e. K )
18	2, 3, 4, 6, 8, 17	matbas2d 20229	. 2 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) e. B )
19	11, 16	ifcld 4131	. . 3 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , F , H ) e. K )
20	2, 3, 4, 6, 8, 19	matbas2d 20229	. 2 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) e. B )
21	12, 16	ifcld 4131	. . 3 |- ( ( ps /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = E , G , H ) e. K )
22	2, 3, 4, 6, 8, 21	matbas2d 20229	. 2 |- ( ps -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) e. B )
23		mdetunilem5.e	. 2 |- ( ps -> E e. N )
24		snex 4908	. . . . . . 7 |- { E } e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ps -> { E } e. _V )
26	23	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ps -> { E } C_ N )
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ a e. { E } /\ b e. N ) -> { E } C_ N )
28		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ps /\ a e. { E } /\ b e. N ) -> a e. { E } )
29	27, 28	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ps /\ a e. { E } /\ b e. N ) -> a e. N )
30	29, 11	syld3an2 1373	. . . . . 6 |- ( ( ps /\ a e. { E } /\ b e. N ) -> F e. K )
31	29, 12	syld3an2 1373	. . . . . 6 |- ( ( ps /\ a e. { E } /\ b e. N ) -> G e. K )
32		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ps -> ( a e. { E } , b e. N |-> F ) = ( a e. { E } , b e. N |-> F ) )
33		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ps -> ( a e. { E } , b e. N |-> G ) = ( a e. { E } , b e. N |-> G ) )
34	25, 6, 30, 31, 32, 33	offval22 7253	. . . . 5 |- ( ps -> ( ( a e. { E } , b e. N |-> F ) oF .+ ( a e. { E } , b e. N |-> G ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> ( F .+ G ) ) )
35	34	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ps -> ( a e. { E } , b e. N |-> ( F .+ G ) ) = ( ( a e. { E } , b e. N |-> F ) oF .+ ( a e. { E } , b e. N |-> G ) ) )
36		mpt2snif 6754	. . . 4 |- ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> ( F .+ G ) )
37		mpt2snif 6754	. . . . 5 |- ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> F )
38		mpt2snif 6754	. . . . 5 |- ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> G )
39	37, 38	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) oF .+ ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) ) = ( ( a e. { E } , b e. N |-> F ) oF .+ ( a e. { E } , b e. N |-> G ) )
40	35, 36, 39	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( ps -> ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) = ( ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) oF .+ ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) ) )
41		ssid 3624	. . . 4 |- N C_ N
42		resmpt2 6758	. . . 4 |- ( ( { E } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) )
43	26, 41, 42	sylancl 694	. . 3 |- ( ps -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) )
44		resmpt2 6758	. . . . 5 |- ( ( { E } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) )
45	26, 41, 44	sylancl 694	. . . 4 |- ( ps -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) )
46		resmpt2 6758	. . . . 5 |- ( ( { E } C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) )
47	26, 41, 46	sylancl 694	. . . 4 |- ( ps -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) )
48	45, 47	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ps -> ( ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) oF .+ ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) ) = ( ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) oF .+ ( a e. { E } , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) ) )
49	40, 43, 48	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ps -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) oF .+ ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) ) )
50		eldifsni 4320	. . . . . . 7 |- ( a e. ( N \ { E } ) -> a =/= E )
51	50	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( ps /\ a e. ( N \ { E } ) /\ b e. N ) -> a =/= E )
52	51	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ( ps /\ a e. ( N \ { E } ) /\ b e. N ) -> -. a = E )
53		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. a = E -> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) = H )
54		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. a = E -> if ( a = E , F , H ) = H )
55	53, 54	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( -. a = E -> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) = if ( a = E , F , H ) )
56	52, 55	syl 17	. . . 4 |- ( ( ps /\ a e. ( N \ { E } ) /\ b e. N ) -> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) = if ( a = E , F , H ) )
57	56	mpt2eq3dva 6719	. . 3 |- ( ps -> ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) )
58		difss 3737	. . . 4 |- ( N \ { E } ) C_ N
59		resmpt2 6758	. . . 4 |- ( ( ( N \ { E } ) C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) )
60	58, 41, 59	mp2an 708	. . 3 |- ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) )
61		resmpt2 6758	. . . 4 |- ( ( ( N \ { E } ) C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) )
62	58, 41, 61	mp2an 708	. . 3 |- ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) )
63	57, 60, 62	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( ps -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) )
64		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. a = E -> if ( a = E , G , H ) = H )
65	53, 64	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( -. a = E -> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) = if ( a = E , G , H ) )
66	52, 65	syl 17	. . . 4 |- ( ( ps /\ a e. ( N \ { E } ) /\ b e. N ) -> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) = if ( a = E , G , H ) )
67	66	mpt2eq3dva 6719	. . 3 |- ( ps -> ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) )
68		resmpt2 6758	. . . 4 |- ( ( ( N \ { E } ) C_ N /\ N C_ N ) -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) )
69	58, 41, 68	mp2an 708	. . 3 |- ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( a e. ( N \ { E } ) , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) )
70	67, 60, 69	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( ps -> ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) )
71		mdetuni.0g	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
72		mdetuni.1r	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
73		mdetuni.tg	. . 3 |- .x. = ( .r ` R )
74		mdetuni.ff	. . 3 |- ( ph -> D : B --> K )
75		mdetuni.al	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. N A. z e. N ( ( y =/= z /\ A. w e. N ( y x w ) = ( z x w ) ) -> ( D ` x ) = .0. ) )
76		mdetuni.li	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( y |` ( { w } X. N ) ) oF .+ ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( y |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( ( D ` y ) .+ ( D ` z ) ) ) )
77		mdetuni.sc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. K A. z e. B A. w e. N ( ( ( x |` ( { w } X. N ) ) = ( ( ( { w } X. N ) X. { y } ) oF .x. ( z |` ( { w } X. N ) ) ) /\ ( x |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) = ( z |` ( ( N \ { w } ) X. N ) ) ) -> ( D ` x ) = ( y .x. ( D ` z ) ) ) )
78	2, 4, 3, 71, 72, 13, 73, 5, 7, 74, 75, 76, 77	mdetunilem3 20420	. 2 |- ( ( ( ph /\ ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) e. B /\ ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) e. B ) /\ ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) e. B /\ E e. N /\ ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) = ( ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) oF .+ ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( { E } X. N ) ) ) ) /\ ( ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) /\ ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) = ( ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) |` ( ( N \ { E } ) X. N ) ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) ) ) )
79	1, 18, 20, 22, 23, 49, 63, 70, 78	syl332anc 1357	1 |- ( ps -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , ( F .+ G ) , H ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , F , H ) ) ) .+ ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = E , G , H ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ring 18549  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mdetunilem6  20423