Theorem cpmatacl 20521

Description: The set of all constant polynomial matrices over a ring R is closed under addition. (Contributed by AV, 17-Nov-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmatsrngpmat.s	|- S = ( N ConstPolyMat R )
cpmatsrngpmat.p	|- P = (Poly1 ` R )
cpmatsrngpmat.c	|- C = ( N Mat P )

Assertion

Ref	Expression
cpmatacl	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` C ) y ) e. S )

Distinct variable groups:   x, N, y   x, R, y   y, S

Allowed substitution hints:   C( x, y)   P( x, y)   S( x)

Proof of Theorem cpmatacl

Dummy variables i j a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmatsrngpmat.s	. . . . . 6 |- S = ( N ConstPolyMat R )
2		cpmatsrngpmat.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
3		cpmatsrngpmat.c	. . . . . 6 |- C = ( N Mat P )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- (algSc ` P ) = (algSc ` P )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatelimp2 20519	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatelimp2 20519	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> ( y e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) ) )
9		r19.26-2 3065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. i e. N A. j e. N ( E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) /\ E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) <-> ( A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) /\ A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
11	5, 10	ringacl 18578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( R e. Ring /\ a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. ( Base ` R ) )
12	11	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( R e. Ring /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. ( Base ` R ) )
13	2	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( R e. Ring -> R = (Scalar ` P ) )
14	13	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( R e. Ring -> (Scalar ` P ) = R )
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( R e. Ring -> ( +g ` (Scalar ` P ) ) = ( +g ` R ) )
16	15	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( R e. Ring -> ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) = ( a ( +g ` R ) b ) )
17	16	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( R e. Ring -> ( ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) e. ( Base ` R ) <-> ( a ( +g ` R ) b ) e. ( Base ` R ) ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( R e. Ring /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) e. ( Base ` R ) <-> ( a ( +g ` R ) b ) e. ( Base ` R ) ) )
19	12, 18	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( R e. Ring /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) e. ( Base ` R ) )
20	19	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( R e. Ring -> ( ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) e. ( Base ` R ) ) )
21	20	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) e. ( Base ` R ) ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) e. ( Base ` R ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) -> ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) e. ( Base ` R ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c = ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) -> ( (algSc ` P ) ` c ) = ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) )
25	24	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( c = ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) -> ( ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) <-> ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) /\ c = ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) -> ( ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) <-> ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) ) )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) -> ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) )
28	27	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) -> ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) )
29	28	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( +g ` C ) = ( +g ` C )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
33	3, 4, 31, 32	matplusgcell 20239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( ( i x j ) ( +g ` P ) ( i y j ) ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) -> ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( ( i x j ) ( +g ` P ) ( i y j ) ) )
35		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) /\ ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) -> ( ( i x j ) ( +g ` P ) ( i y j ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` a ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` b ) ) )
36	35	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> ( ( i x j ) ( +g ` P ) ( i y j ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` a ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` b ) ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (Scalar ` P ) = (Scalar ` P )
38	2	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
39	38	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> P e. Ring )
40	2	ply1lmod 19622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
41	40	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> P e. LMod )
42	6, 37, 39, 41	asclghm 19338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> (algSc ` P ) e. ( (Scalar ` P ) GrpHom P ) )
43	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R = (Scalar ` P ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
45	44	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( a e. ( Base ` R ) <-> a e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) )
46	45	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( a e. ( Base ` R ) -> a e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( a e. ( Base ` R ) -> a e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) )
48	47	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> a e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) )
49	48	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> a e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
50	13	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> R = (Scalar ` P ) )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
52	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( b e. ( Base ` R ) <-> b e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) )
53	52	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( b e. ( Base ` R ) -> b e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) )
54	53	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> b e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) )
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> b e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Base ` (Scalar ` P ) ) = ( Base ` (Scalar ` P ) )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( +g ` (Scalar ` P ) ) = ( +g ` (Scalar ` P ) )
58	56, 57, 32	ghmlin 17665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( (algSc ` P ) e. ( (Scalar ` P ) GrpHom P ) /\ a e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) /\ b e. ( Base ` (Scalar ` P ) ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` a ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` b ) ) )
59	42, 49, 55, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) = ( ( (algSc ` P ) ` a ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` b ) ) )
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( (algSc ` P ) ` a ) ( +g ` P ) ( (algSc ` P ) ` b ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) )
61	36, 60	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) -> ( ( i x j ) ( +g ` P ) ( i y j ) ) = ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) )
62	34, 61	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) -> ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` ( a ( +g ` (Scalar ` P ) ) b ) ) )
63	23, 26, 62	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) /\ ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) )
64	63	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) /\ ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) )
65	64	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ b e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> ( ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
66	65	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) /\ b e. ( Base ` R ) ) -> ( ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> ( ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
67	66	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) -> ( E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> ( ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
68	67	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) /\ a e. ( Base ` R ) ) -> ( ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) -> ( E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
69	68	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) -> ( E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
70	69	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( i e. N /\ j e. N ) ) -> ( ( E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) /\ E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) -> E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) )
71	70	ralimdvva 2964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) /\ E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) )
72	9, 71	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) /\ A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) )
73	72	expd 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ x e. ( Base ` C ) ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) -> ( A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
74	73	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( x e. ( Base ` C ) -> ( A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) -> ( A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) ) )
75	74	impd 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
76	75	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) ) )
77	76	com34 91	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. ( Base ` C ) -> ( A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) ) )
78	77	impd 447	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( y e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. b e. ( Base ` R ) ( i y j ) = ( (algSc ` P ) ` b ) ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
79	8, 78	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
80	79	com23 86	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ A. i e. N A. j e. N E. a e. ( Base ` R ) ( i x j ) = ( (algSc ` P ) ` a ) ) -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
81	7, 80	syld 47	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) ) )
82	81	imp32 449	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) )
83		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> N e. Fin )
84	83	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> N e. Fin )
85		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
86	85	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> R e. Ring )
87	2, 3	pmatring 20498	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
88	87	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> C e. Ring )
89		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> x e. S )
90	89	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. S ) )
91		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. S ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ x e. S ) )
92	90, 91	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. S ) )
93	1, 2, 3, 4	cpmatpmat 20515	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` C ) )
94	92, 93	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
95		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> y e. S )
96	95	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. S ) )
97		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. S ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. S ) )
98	96, 97	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. S ) )
99	1, 2, 3, 4	cpmatpmat 20515	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. S ) -> y e. ( Base ` C ) )
100	98, 99	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
101	4, 31	ringacl 18578	. . . . 5 |- ( ( C e. Ring /\ x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( x ( +g ` C ) y ) e. ( Base ` C ) )
102	88, 94, 100, 101	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` C ) y ) e. ( Base ` C ) )
103	1, 2, 3, 4, 5, 6	cpmatel2 20518	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( x ( +g ` C ) y ) e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x ( +g ` C ) y ) e. S <-> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) )
104	84, 86, 102, 103	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( x ( +g ` C ) y ) e. S <-> A. i e. N A. j e. N E. c e. ( Base ` R ) ( i ( x ( +g ` C ) y ) j ) = ( (algSc ` P ) ` c ) ) )
105	82, 104	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` C ) y ) e. S )
106	105	ralrimivva 2971	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` C ) y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   GrpHom cghm 17657   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  algSccascl 19311  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   ConstPolyMat ccpmat 20508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-cpmat 20511

This theorem is referenced by:  cpmatsubgpmat  20525