MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1add Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem deg1add 23863
Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y |- Y = (Poly1 ` R )
deg1addle.d |- D = ( deg1 ` R )
deg1addle.r |- ( ph -> R e. Ring )
deg1addle.b |- B = ( Base ` Y )
deg1addle.p |- .+ = ( +g ` Y )
deg1addle.f |- ( ph -> F e. B )
deg1addle.g |- ( ph -> G e. B )
deg1add.l |- ( ph -> ( D ` G ) < ( D ` F ) )
Assertion
Ref Expression
deg1add |- ( ph -> ( D ` ( F .+ G ) ) = ( D ` F ) )
Proof of Theorem deg1add
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . . 4 |- Y = (Poly1 ` R )
2 deg1addle.d . . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
3 deg1addle.r . . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
4 deg1addle.b . . . 4 |- B = ( Base ` Y )
5 deg1addle.p . . . 4 |- .+ = ( +g ` Y )
6 deg1addle.f . . . 4 |- ( ph -> F e. B )
7 deg1addle.g . . . 4 |- ( ph -> G e. B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7deg1addle 23861 . . 3 |- ( ph -> ( D ` ( F .+ G ) ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
9 deg1add.l . . . . 5 |- ( ph -> ( D ` G ) < ( D ` F ) )
102, 1, 4deg1xrcl 23842 . . . . . . 7 |- ( G e. B -> ( D ` G ) e. RR* )
117, 10syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( D ` G ) e. RR* )
122, 1, 4deg1xrcl 23842 . . . . . . 7 |- ( F e. B -> ( D ` F ) e. RR* )
136, 12syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( D ` F ) e. RR* )
14 xrltnle 10105 . . . . . 6 |- ( ( ( D ` G ) e. RR* /\ ( D ` F ) e. RR* ) -> ( ( D ` G ) < ( D ` F ) <-> -. ( D ` F ) <_ ( D ` G ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( D ` G ) < ( D ` F ) <-> -. ( D ` F ) <_ ( D ` G ) ) )
169, 15mpbid 222 . . . 4 |- ( ph -> -. ( D ` F ) <_ ( D ` G ) )
1716iffalsed 4097 . . 3 |- ( ph -> if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) = ( D ` F ) )
188, 17breqtrd 4679 . 2 |- ( ph -> ( D ` ( F .+ G ) ) <_ ( D ` F ) )
191ply1ring 19618 . . . . 5 |- ( R e. Ring -> Y e. Ring )
203, 19syl 17 . . . 4 |- ( ph -> Y e. Ring )
214, 5ringacl 18578 . . . 4 |- ( ( Y e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .+ G ) e. B )
2220, 6, 7, 21syl3anc 1326 . . 3 |- ( ph -> ( F .+ G ) e. B )
23 nltmnf 11963 . . . . . 6 |- ( ( D ` G ) e. RR* -> -. ( D ` G ) < -oo )
2411, 23syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> -. ( D ` G ) < -oo )
259adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F = ( 0g ` Y ) ) -> ( D ` G ) < ( D ` F ) )
26 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( F = ( 0g ` Y ) -> ( D ` F ) = ( D ` ( 0g ` Y ) ) )
27 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
282, 1, 27deg1z 23847 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( D ` ( 0g ` Y ) ) = -oo )
293, 28syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D ` ( 0g ` Y ) ) = -oo )
3026, 29sylan9eqr 2678 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F = ( 0g ` Y ) ) -> ( D ` F ) = -oo )
3125, 30breqtrd 4679 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F = ( 0g ` Y ) ) -> ( D ` G ) < -oo )
3231ex 450 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F = ( 0g ` Y ) -> ( D ` G ) < -oo ) )
3332necon3bd 2808 . . . . 5 |- ( ph -> ( -. ( D ` G ) < -oo -> F =/= ( 0g ` Y ) ) )
3424, 33mpd 15 . . . 4 |- ( ph -> F =/= ( 0g ` Y ) )
352, 1, 27, 4deg1nn0cl 23848 . . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ F =/= ( 0g ` Y ) ) -> ( D ` F ) e. NN0 )
363, 6, 34, 35syl3anc 1326 . . 3 |- ( ph -> ( D ` F ) e. NN0 )
37 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
381, 4, 5, 37coe1addfv 19635 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ ( D ` F ) e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( F .+ G ) ) ` ( D ` F ) ) = ( ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` ( D ` F ) ) ) )
393, 6, 7, 36, 38syl31anc 1329 . . . . 5 |- ( ph -> ( (coe1 ` ( F .+ G ) ) ` ( D ` F ) ) = ( ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` ( D ` F ) ) ) )
40 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
41 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- (coe1 ` G ) = (coe1 ` G )
422, 1, 4, 40, 41deg1lt 23857 . . . . . . 7 |- ( ( G e. B /\ ( D ` F ) e. NN0 /\ ( D ` G ) < ( D ` F ) ) -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` F ) ) = ( 0g ` R ) )
437, 36, 9, 42syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ph -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` F ) ) = ( 0g ` R ) )
4443oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` ( D ` F ) ) ) = ( ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) )
45 ringgrp 18552 . . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
463, 45syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
47 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- (coe1 ` F ) = (coe1 ` F )
48 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4947, 4, 1, 48coe1f 19581 . . . . . . . 8 |- ( F e. B -> (coe1 ` F ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
506, 49syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> (coe1 ` F ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
5150, 36ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) e. ( Base ` R ) )
5248, 37, 40grprid 17453 . . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) )
5346, 51, 52syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) )
5439, 44, 533eqtrd 2660 . . . 4 |- ( ph -> ( (coe1 ` ( F .+ G ) ) ` ( D ` F ) ) = ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) )
552, 1, 27, 4, 40, 47deg1ldg 23852 . . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ F =/= ( 0g ` Y ) ) -> ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) =/= ( 0g ` R ) )
563, 6, 34, 55syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) =/= ( 0g ` R ) )
5754, 56eqnetrd 2861 . . 3 |- ( ph -> ( (coe1 ` ( F .+ G ) ) ` ( D ` F ) ) =/= ( 0g ` R ) )
58 eqid 2622 . . . 4 |- (coe1 ` ( F .+ G ) ) = (coe1 ` ( F .+ G ) )
592, 1, 4, 40, 58deg1ge 23858 . . 3 |- ( ( ( F .+ G ) e. B /\ ( D ` F ) e. NN0 /\ ( (coe1 ` ( F .+ G ) ) ` ( D ` F ) ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( D ` F ) <_ ( D ` ( F .+ G ) ) )
6022, 36, 57, 59syl3anc 1326 . 2 |- ( ph -> ( D ` F ) <_ ( D ` ( F .+ G ) ) )
612, 1, 4deg1xrcl 23842 . . . 4 |- ( ( F .+ G ) e. B -> ( D ` ( F .+ G ) ) e. RR* )
6222, 61syl 17 . . 3 |- ( ph -> ( D ` ( F .+ G ) ) e. RR* )
63 xrletri3 11985 . . 3 |- ( ( ( D ` ( F .+ G ) ) e. RR* /\ ( D ` F ) e. RR* ) -> ( ( D ` ( F .+ G ) ) = ( D ` F ) <-> ( ( D ` ( F .+ G ) ) <_ ( D ` F ) /\ ( D ` F ) <_ ( D ` ( F .+ G ) ) ) ) )
6462, 13, 63syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( ( D ` ( F .+ G ) ) = ( D ` F ) <-> ( ( D ` ( F .+ G ) ) <_ ( D ` F ) /\ ( D ` F ) <_ ( D ` ( F .+ G ) ) ) ) )
6518, 60, 64mpbir2and 957 1 |- ( ph -> ( D ` ( F .+ G ) ) = ( D ` F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   Ringcrg 18547  Poly1cpl1 19547  coe1cco1 19548   deg1 cdg1 23814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816
This theorem is referenced by:  deg1sub  23868
  Copyright terms: Public domain W3C validator