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Theorem mdegaddle 23834
Description: The degree of a sum is at most the maximum of the degrees of the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y |- Y = ( I mPoly R )
mdegaddle.d |- D = ( I mDeg R )
mdegaddle.i |- ( ph -> I e. V )
mdegaddle.r |- ( ph -> R e. Ring )
mdegaddle.b |- B = ( Base ` Y )
mdegaddle.p |- .+ = ( +g ` Y )
mdegaddle.f |- ( ph -> F e. B )
mdegaddle.g |- ( ph -> G e. B )
Assertion
Ref Expression
mdegaddle |- ( ph -> ( D ` ( F .+ G ) ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
Proof of Theorem mdegaddle
Dummy variables c a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . . . 10 |- Y = ( I mPoly R )
2 mdegaddle.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` Y )
3 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4 mdegaddle.p . . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` Y )
5 mdegaddle.f . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. B )
6 mdegaddle.g . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. B )
71, 2, 3, 4, 5, 6mpladd 19442 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F .+ G ) = ( F oF ( +g ` R ) G ) )
87fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( ( F oF ( +g ` R ) G ) ` c ) )
98adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( ( F oF ( +g ` R ) G ) ` c ) )
10 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
11 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } = { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin }
121, 10, 2, 11, 5mplelf 19433 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
13 ffn 6045 . . . . . . . . . 10 |- ( F : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) -> F Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
1514adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> F Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
161, 10, 2, 11, 6mplelf 19433 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
17 ffn 6045 . . . . . . . . . 10 |- ( G : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) -> G Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> G Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
1918adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> G Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
20 ovex 6678 . . . . . . . . . 10 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
2120rabex 4813 . . . . . . . . 9 |- { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } e. _V
2221a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } e. _V )
23 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
24 fnfvof 6911 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ G Fn { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ ( { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } e. _V /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) ) -> ( ( F oF ( +g ` R ) G ) ` c ) = ( ( F ` c ) ( +g ` R ) ( G ` c ) ) )
2515, 19, 22, 23, 24syl22anc 1327 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F oF ( +g ` R ) G ) ` c ) = ( ( F ` c ) ( +g ` R ) ( G ` c ) ) )
269, 25eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( ( F ` c ) ( +g ` R ) ( G ` c ) ) )
2726adantrr 753 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( ( F ` c ) ( +g ` R ) ( G ` c ) ) )
28 mdegaddle.d . . . . . . . 8 |- D = ( I mDeg R )
29 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
30 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) = ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) )
315adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> F e. B )
32 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
3328, 1, 2mdegxrcl 23827 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. B -> ( D ` F ) e. RR* )
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ` F ) e. RR* )
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( D ` F ) e. RR* )
3628, 1, 2mdegxrcl 23827 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. B -> ( D ` G ) e. RR* )
376, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( D ` G ) e. RR* )
3837, 34ifcld 4131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* )
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* )
40 nn0ssre 11296 . . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 C_ RR
41 ressxr 10083 . . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
4240, 41sstri 3612 . . . . . . . . . . . 12 |- NN0 C_ RR*
43 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. V )
4411, 30tdeglem1 23818 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. V -> ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> NN0 )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> NN0 )
4645ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. NN0 )
4742, 46sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. RR* )
4835, 39, 473jca 1242 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( D ` F ) e. RR* /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. RR* ) )
4948adantrr 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( D ` F ) e. RR* /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. RR* ) )
50 xrmax1 12006 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D ` F ) e. RR* /\ ( D ` G ) e. RR* ) -> ( D ` F ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
5134, 37, 50syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D ` F ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( D ` F ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
53 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) )
5452, 53jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( D ` F ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) )
55 xrlelttr 11987 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( D ` F ) e. RR* /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. RR* ) -> ( ( ( D ` F ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) -> ( D ` F ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) )
5649, 54, 55sylc 65 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( D ` F ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) )
5728, 1, 2, 29, 11, 30, 31, 32, 56mdeglt 23825 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( F ` c ) = ( 0g ` R ) )
586adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> G e. B )
5937adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( D ` G ) e. RR* )
6059, 39, 473jca 1242 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( D ` G ) e. RR* /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. RR* ) )
6160adantrr 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( D ` G ) e. RR* /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. RR* ) )
62 xrmax2 12007 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D ` F ) e. RR* /\ ( D ` G ) e. RR* ) -> ( D ` G ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
6334, 37, 62syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D ` G ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( D ` G ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
6564, 53jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( D ` G ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) )
66 xrlelttr 11987 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( D ` G ) e. RR* /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* /\ ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) e. RR* ) -> ( ( ( D ` G ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) -> ( D ` G ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) )
6761, 65, 66sylc 65 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( D ` G ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) )
6828, 1, 2, 29, 11, 30, 58, 32, 67mdeglt 23825 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( G ` c ) = ( 0g ` R ) )
6957, 68oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( F ` c ) ( +g ` R ) ( G ` c ) ) = ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) )
70 mdegaddle.r . . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Ring )
71 ringgrp 18552 . . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
7270, 71syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Grp )
7310, 29ring0cl 18569 . . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
7470, 73syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
7510, 3, 29grplid 17452 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
7672, 74, 75syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
7776adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( +g ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
7869, 77eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( F ` c ) ( +g ` R ) ( G ` c ) ) = ( 0g ` R ) )
7927, 78eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) ) ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( 0g ` R ) )
8079expr 643 . . 3 |- ( ( ph /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
8180ralrimiva 2966 . 2 |- ( ph -> A. c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ( if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) )
821mplring 19452 . . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
8343, 70, 82syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> Y e. Ring )
842, 4ringacl 18578 . . . 4 |- ( ( Y e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .+ G ) e. B )
8583, 5, 6, 84syl3anc 1326 . . 3 |- ( ph -> ( F .+ G ) e. B )
8628, 1, 2, 29, 11, 30mdegleb 23824 . . 3 |- ( ( ( F .+ G ) e. B /\ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* ) -> ( ( D ` ( F .+ G ) ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) <-> A. c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ( if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8785, 38, 86syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( ( D ` ( F .+ G ) ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) <-> A. c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ( if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) < ( ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg b ) ) ` c ) -> ( ( F .+ G ) ` c ) = ( 0g ` R ) ) ) )
8881, 87mpbird 247 1 |- ( ph -> ( D ` ( F .+ G ) ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Grpcgrp 17422   Ringcrg 18547   mPoly cmpl 19353  ℂfldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815
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