Theorem mat1ghm 20289

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	|- K = ( Base ` R )
mat1rhmval.a	|- A = ( { E } Mat R )
mat1rhmval.b	|- B = ( Base ` A )
mat1rhmval.o	|- O = <. E , E >.
mat1rhmval.f	|- F = ( x e. K |-> { <. O , x >. } )

Assertion

Ref	Expression
mat1ghm	|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F e. ( R GrpHom A ) )

Distinct variable groups:   x, K   x, O   x, E   x, R   x, V   x, B   x, A   x, F

Proof of Theorem mat1ghm

Dummy variables i j w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1rhmval.k	. 2 |- K = ( Base ` R )
2		mat1rhmval.b	. 2 |- B = ( Base ` A )
3		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` A ) = ( +g ` A )
5		ringgrp 18552	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Grp )
7		snfi 8038	. . 3 |- { E } e. Fin
8		simpl 473	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Ring )
9		mat1rhmval.a	. . . 4 |- A = ( { E } Mat R )
10	9	matgrp 20236	. . 3 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Grp )
11	7, 8, 10	sylancr 695	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A e. Grp )
12		mat1rhmval.o	. . 3 |- O = <. E , E >.
13		mat1rhmval.f	. . 3 |- F = ( x e. K |-> { <. O , x >. } )
14	1, 9, 2, 12, 13	mat1f 20288	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F : K --> B )
15	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> R e. Ring )
16		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> E e. V )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> E e. V )
18		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. K /\ y e. K ) -> w e. K )
19	18	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> w e. K )
20	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 20286	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w )
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w )
22		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. K /\ y e. K ) -> y e. K )
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> y e. K )
24	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 20286	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y )
25	15, 17, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y )
26	21, 25	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( +g ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) = ( w ( +g ` R ) y ) )
27	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 20287	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( F ` w ) e. B )
28	15, 17, 19, 27	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` w ) e. B )
29	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 20287	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( F ` y ) e. B )
30	15, 17, 23, 29	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` y ) e. B )
31		snidg 4206	. . . . . . . . 9 |- ( E e. V -> E e. { E } )
32	31, 31	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( E e. V -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) )
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) )
34	33	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) )
35	9, 2, 4, 3	matplusgcell 20239	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) /\ ( E e. { E } /\ E e. { E } ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( +g ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
36	28, 30, 34, 35	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( +g ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
37	1, 3	ringacl 18578	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ w e. K /\ y e. K ) -> ( w ( +g ` R ) y ) e. K )
38	15, 19, 23, 37	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( w ( +g ` R ) y ) e. K )
39	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmelval 20286	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( +g ` R ) y ) e. K ) -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( w ( +g ` R ) y ) )
40	15, 17, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( w ( +g ` R ) y ) )
41	26, 36, 40	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) )
42		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( i = E -> ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( i = E -> ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) )
44	42, 43	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( i = E -> ( ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
45		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( j = E -> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) )
46		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( j = E -> ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) )
47	45, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( j = E -> ( ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
48	44, 47	2ralsng 4220	. . . . . 6 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
49	16, 16, 48	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
50	49	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
51	41, 50	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) )
52	1, 9, 2, 12, 13	mat1rhmcl 20287	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( +g ` R ) y ) e. K ) -> ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) e. B )
53	15, 17, 38, 52	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) e. B )
54	9	matring 20249	. . . . . . 7 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
55	7, 8, 54	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A e. Ring )
56	55	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A e. Ring )
57	2, 4	ringacl 18578	. . . . 5 |- ( ( A e. Ring /\ ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) -> ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) e. B )
58	56, 28, 30, 57	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) e. B )
59	9, 2	eqmat 20230	. . . 4 |- ( ( ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) e. B /\ ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
60	53, 58, 59	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
61	51, 60	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( +g ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( +g ` A ) ( F ` y ) ) )
62	1, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61	isghmd 17669	1 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F e. ( R GrpHom A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mat1rhm  20291