Theorem issrngd 18861

Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrngd.k	|- ( ph -> K = ( Base ` R ) )
issrngd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
issrngd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
issrngd.c	|- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )
issrngd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
issrngd.cl	|- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( .* ` x ) e. K )
issrngd.dp	|- ( ( ph /\ x e. K /\ y e. K ) -> ( .* ` ( x .+ y ) ) = ( ( .* ` x ) .+ ( .* ` y ) ) )
issrngd.dt	|- ( ( ph /\ x e. K /\ y e. K ) -> ( .* ` ( x .x. y ) ) = ( ( .* ` y ) .x. ( .* ` x ) ) )
issrngd.id	|- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( .* ` ( .* ` x ) ) = x )

Assertion

Ref	Expression
issrngd	|- ( ph -> R e. *Ring )

Distinct variable groups:   x, y, K   x, R, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)   .x. ( x, y)   .* ( x, y)

Proof of Theorem issrngd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
3		eqid 2622	. . . 4 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
4	3, 2	oppr1 18634	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` (oppr ` R ) )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` (oppr ` R ) ) = ( .r ` (oppr ` R ) )
7		issrngd.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
8	3	opprring 18631	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (oppr ` R ) e. Ring )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (oppr ` R ) e. Ring )
10	1, 2	ringidcl 18568	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
12		issrngd.id	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( .* ` ( .* ` x ) ) = x )
13	12	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. K -> ( .* ` ( .* ` x ) ) = x ) )
14		issrngd.k	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K = ( Base ` R ) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. K <-> x e. ( Base ` R ) ) )
16		issrngd.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> .* = ( *r ` R ) )
17	16	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( .* ` x ) = ( ( *r ` R ) ` x ) )
18	16, 17	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( .* ` ( .* ` x ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( .* ` ( .* ` x ) ) = x <-> ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) = x ) )
20	13, 15, 19	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` R ) -> ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) = x ) )
21	20	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) = x )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
23	22	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
24		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1r ` R ) -> x = ( 1r ` R ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( ( *r ` R ) ` x ) = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
27	24, 26	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) <-> ( 1r ` R ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
28	27	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) -> ( A. x e. ( Base ` R ) x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) -> ( 1r ` R ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
29	11, 23, 28	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
31		issrngd.cl	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( .* ` x ) e. K )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. K -> ( .* ` x ) e. K ) )
33	17, 14	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( .* ` x ) e. K <-> ( ( *r ` R ) ` x ) e. ( Base ` R ) ) )
34	32, 15, 33	3imtr3d 282	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( Base ` R ) -> ( ( *r ` R ) ` x ) e. ( Base ` R ) ) )
35	34	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) e. ( Base ` R ) )
36	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( ( ( *r ` R ) ` x ) e. ( Base ` R ) <-> ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) ) )
37	36	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) -> ( A. x e. ( Base ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) e. ( Base ` R ) -> ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) ) )
38	11, 35, 37	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) )
39		issrngd.dt	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. K /\ y e. K ) -> ( .* ` ( x .x. y ) ) = ( ( .* ` y ) .x. ( .* ` x ) ) )
40	39	3expib 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ y e. K ) -> ( .* ` ( x .x. y ) ) = ( ( .* ` y ) .x. ( .* ` x ) ) ) )
41	14	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. K <-> y e. ( Base ` R ) ) )
42	15, 41	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ y e. K ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) )
43		issrngd.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
44	43	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` R ) y ) )
45	16, 44	fveq12d 6197	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( .* ` ( x .x. y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) )
46	16	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( .* ` y ) = ( ( *r ` R ) ` y ) )
47	43, 46, 17	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( .* ` y ) .x. ( .* ` x ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
48	45, 47	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( .* ` ( x .x. y ) ) = ( ( .* ` y ) .x. ( .* ` x ) ) <-> ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) ) )
49	40, 42, 48	3imtr3d 282	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) ) )
50	49	ralrimivv 2970	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( x ( .r ` R ) y ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) ) )
53	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
54	52, 53	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1r ` R ) -> ( ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) <-> ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) -> ( ( *r ` R ) ` y ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) -> ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
59	56, 58	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) -> ( ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) <-> ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
60	54, 59	rspc2va 3323	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) ) /\ A. x e. ( Base ` R ) A. y e. ( Base ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
61	11, 38, 50, 60	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
62	30, 61	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) )
63	1, 5, 2	ringlidm 18571	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) )
64	7, 38, 63	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( *r ` R ) ` ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
66	62, 64, 65	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ph -> ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) ) )
67		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( *r ` R ) = ( *r ` R )
68		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( *rf ` R ) = ( *rf ` R )
69	1, 67, 68	stafval 18848	. . . . 5 |- ( ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( 1r ` R ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) )
70	11, 69	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( *rf ` R ) ` ( 1r ` R ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( 1r ` R ) ) )
71	66, 70, 29	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( ( *rf ` R ) ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
72	49	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
73	1, 5, 3, 6	opprmul 18626	. . . . 5 |- ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` y ) ( .r ` R ) ( ( *r ` R ) ` x ) )
74	72, 73	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
75	1, 5	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
76	75	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
77	7, 76	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
78	1, 67, 68	stafval 18848	. . . . 5 |- ( ( x ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) )
79	77, 78	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) )
80	1, 67, 68	stafval 18848	. . . . . 6 |- ( x e. ( Base ` R ) -> ( ( *rf ` R ) ` x ) = ( ( *r ` R ) ` x ) )
81	1, 67, 68	stafval 18848	. . . . . 6 |- ( y e. ( Base ` R ) -> ( ( *rf ` R ) ` y ) = ( ( *r ` R ) ` y ) )
82	80, 81	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( *rf ` R ) ` x ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *rf ` R ) ` y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
83	82	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( *rf ` R ) ` x ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *rf ` R ) ` y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
84	74, 79, 83	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( x ( .r ` R ) y ) ) = ( ( ( *rf ` R ) ` x ) ( .r ` (oppr ` R ) ) ( ( *rf ` R ) ` y ) ) )
85	3, 1	opprbas 18629	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (oppr ` R ) )
86		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
87	3, 86	oppradd 18630	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` (oppr ` R ) )
88	34	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( *r ` R ) ` x ) e. ( Base ` R ) )
89	1, 67, 68	staffval 18847	. . . 4 |- ( *rf ` R ) = ( x e. ( Base ` R ) |-> ( ( *r ` R ) ` x ) )
90	88, 89	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( *rf ` R ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
91		issrngd.dp	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. K /\ y e. K ) -> ( .* ` ( x .+ y ) ) = ( ( .* ` x ) .+ ( .* ` y ) ) )
92	91	3expib 1268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. K /\ y e. K ) -> ( .* ` ( x .+ y ) ) = ( ( .* ` x ) .+ ( .* ` y ) ) ) )
93		issrngd.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
94	93	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` R ) y ) )
95	16, 94	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( .* ` ( x .+ y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
96	93, 17, 46	oveq123d 6671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( .* ` x ) .+ ( .* ` y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
97	95, 96	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( .* ` ( x .+ y ) ) = ( ( .* ` x ) .+ ( .* ` y ) ) <-> ( ( *r ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) ) )
98	92, 42, 97	3imtr3d 282	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) ) )
99	98	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( *r ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
100	1, 86	ringacl 18578	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
101	100	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
102	7, 101	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
103	1, 67, 68	stafval 18848	. . . . 5 |- ( ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
104	102, 103	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) )
105	80, 81	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( *rf ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *rf ` R ) ` y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
106	105	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( *rf ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *rf ` R ) ` y ) ) = ( ( ( *r ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
107	99, 104, 106	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( *rf ` R ) ` ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( ( *rf ` R ) ` x ) ( +g ` R ) ( ( *rf ` R ) ` y ) ) )
108	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107	isrhmd 18729	. 2 |- ( ph -> ( *rf ` R ) e. ( R RingHom (oppr ` R ) ) )
109	1, 67, 68	staffval 18847	. . . . . . . 8 |- ( *rf ` R ) = ( y e. ( Base ` R ) |-> ( ( *r ` R ) ` y ) )
110	109	fmpt 6381	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( Base ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) e. ( Base ` R ) <-> ( *rf ` R ) : ( Base ` R ) --> ( Base ` R ) )
111	90, 110	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ( Base ` R ) ( ( *r ` R ) ` y ) e. ( Base ` R ) )
112	111	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( *r ` R ) ` y ) e. ( Base ` R ) )
113		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> x = y )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( *r ` R ) ` x ) = ( ( *r ` R ) ` y ) )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
116	113, 115	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) <-> y = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` y ) ) ) )
117	116	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. ( Base ` R ) x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> y = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
118	23, 117	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( Base ` R ) ) -> y = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
119	118	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> y = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
120		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( *r ` R ) ` y ) -> ( ( *r ` R ) ` x ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
121	120	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( *r ` R ) ` y ) -> ( y = ( ( *r ` R ) ` x ) <-> y = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` y ) ) ) )
122	119, 121	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x = ( ( *r ` R ) ` y ) -> y = ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
123	22	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
124		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( *r ` R ) ` x ) -> ( ( *r ` R ) ` y ) = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
125	124	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( *r ` R ) ` x ) -> ( x = ( ( *r ` R ) ` y ) <-> x = ( ( *r ` R ) ` ( ( *r ` R ) ` x ) ) ) )
126	123, 125	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y = ( ( *r ` R ) ` x ) -> x = ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
127	122, 126	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x = ( ( *r ` R ) ` y ) <-> y = ( ( *r ` R ) ` x ) ) )
128	89, 88, 112, 127	f1ocnv2d 6886	. . . 4 |- ( ph -> ( ( *rf ` R ) : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` R ) /\ `' ( *rf ` R ) = ( y e. ( Base ` R ) |-> ( ( *r ` R ) ` y ) ) ) )
129	128	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> `' ( *rf ` R ) = ( y e. ( Base ` R ) |-> ( ( *r ` R ) ` y ) ) )
130	129, 109	syl6reqr 2675	. 2 |- ( ph -> ( *rf ` R ) = `' ( *rf ` R ) )
131	3, 68	issrng 18850	. 2 |- ( R e. *Ring <-> ( ( *rf ` R ) e. ( R RingHom (oppr ` R ) ) /\ ( *rf ` R ) = `' ( *rf ` R ) ) )
132	108, 130, 131	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> R e. *Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   *rcstv 15943   1rcur 18501   Ringcrg 18547  opp_rcoppr 18622   RingHom crh 18712   *rfcstf 18843   *Ringcsr 18844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-rnghom 18715  df-staf 18845  df-srng 18846

This theorem is referenced by:  idsrngd  18862  cnsrng  19780  hlhilsrnglem  37245