Theorem rlimrege0 14310

Description: The limit of a sequence of complex numbers with nonnegative real part has nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcld2.1	|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
rlimcld2.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r C )
rlimrege0.4	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
rlimrege0.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( Re ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
rlimrege0	|- ( ph -> 0 <_ ( Re ` C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem rlimrege0

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcld2.1	. . 3 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
2		rlimcld2.2	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) ~~> r C )
3		ssrab2 3687	. . . 4 |- { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } C_ CC
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } C_ CC )
5		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> y e. CC )
6	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> y e. CC )
7	6	recld 13934	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> ( Re ` y ) e. RR )
8	7	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> -u ( Re ` y ) e. RR )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( Re ` w ) = ( Re ` y ) )
10	9	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( 0 <_ ( Re ` w ) <-> 0 <_ ( Re ` y ) ) )
11	10	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( -. 0 <_ ( Re ` w ) <-> -. 0 <_ ( Re ` y ) ) )
12		notrab 3904	. . . . . . . . 9 |- ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) = { w e. CC | -. 0 <_ ( Re ` w ) }
13	11, 12	elrab2 3366	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) <-> ( y e. CC /\ -. 0 <_ ( Re ` y ) ) )
14	13	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> -. 0 <_ ( Re ` y ) )
15	14	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> -. 0 <_ ( Re ` y ) )
16		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
17		ltnle 10117	. . . . . . 7 |- ( ( ( Re ` y ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` y ) < 0 <-> -. 0 <_ ( Re ` y ) ) )
18	7, 16, 17	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> ( ( Re ` y ) < 0 <-> -. 0 <_ ( Re ` y ) ) )
19	15, 18	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> ( Re ` y ) < 0 )
20	7	lt0neg1d 10597	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> ( ( Re ` y ) < 0 <-> 0 < -u ( Re ` y ) ) )
21	19, 20	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> 0 < -u ( Re ` y ) )
22	8, 21	elrpd 11869	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) -> -u ( Re ` y ) e. RR+ )
23	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> -u ( Re ` y ) e. RR )
24		elrabi 3359	. . . . . . 7 |- ( z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } -> z e. CC )
25	24	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> z e. CC )
26	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> y e. CC )
27	25, 26	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( z - y ) e. CC )
28	27	recld 13934	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( Re ` ( z - y ) ) e. RR )
29	27	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( abs ` ( z - y ) ) e. RR )
30		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> 0 e. RR )
31	25	recld 13934	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( Re ` z ) e. RR )
32	26	recld 13934	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( Re ` y ) e. RR )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( Re ` w ) = ( Re ` z ) )
34	33	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( 0 <_ ( Re ` w ) <-> 0 <_ ( Re ` z ) ) )
35	34	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } <-> ( z e. CC /\ 0 <_ ( Re ` z ) ) )
36	35	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } -> 0 <_ ( Re ` z ) )
37	36	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> 0 <_ ( Re ` z ) )
38	30, 31, 32, 37	lesub1dd 10643	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( 0 - ( Re ` y ) ) <_ ( ( Re ` z ) - ( Re ` y ) ) )
39		df-neg 10269	. . . . . 6 |- -u ( Re ` y ) = ( 0 - ( Re ` y ) )
40	39	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> -u ( Re ` y ) = ( 0 - ( Re ` y ) ) )
41	25, 26	resubd 13956	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( Re ` ( z - y ) ) = ( ( Re ` z ) - ( Re ` y ) ) )
42	38, 40, 41	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> -u ( Re ` y ) <_ ( Re ` ( z - y ) ) )
43	27	releabsd 14190	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> ( Re ` ( z - y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
44	23, 28, 29, 42, 43	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ( ph /\ y e. ( CC \ { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) ) /\ z e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } ) -> -u ( Re ` y ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
45		rlimrege0.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
46		rlimrege0.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( Re ` B ) )
47		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( Re ` w ) = ( Re ` B ) )
48	47	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( w = B -> ( 0 <_ ( Re ` w ) <-> 0 <_ ( Re ` B ) ) )
49	48	elrab 3363	. . . 4 |- ( B e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } <-> ( B e. CC /\ 0 <_ ( Re ` B ) ) )
50	45, 46, 49	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } )
51	1, 2, 4, 22, 44, 50	rlimcld2 14309	. 2 |- ( ph -> C e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } )
52		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( w = C -> ( Re ` w ) = ( Re ` C ) )
53	52	breq2d 4665	. . . 4 |- ( w = C -> ( 0 <_ ( Re ` w ) <-> 0 <_ ( Re ` C ) ) )
54	53	elrab 3363	. . 3 |- ( C e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } <-> ( C e. CC /\ 0 <_ ( Re ` C ) ) )
55	54	simprbi 480	. 2 |- ( C e. { w e. CC | 0 <_ ( Re ` w ) } -> 0 <_ ( Re ` C ) )
56	51, 55	syl 17	1 |- ( ph -> 0 <_ ( Re ` C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   Recre 13837   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  rlimge0  14312