Theorem ringidcl 18568

Description: The unit element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringidcl.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	|- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 18553	. 2 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3		ringidcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
4	1, 3	mgpbas 18495	. . 3 |- B = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
5		ringidcl.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
6	1, 5	ringidval 18503	. . 3 |- .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
7	4, 6	mndidcl 17308	. 2 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd -> .1. e. B )
8	2, 7	syl 17	1 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   Mndcmnd 17294  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  ringid  18574  rngo2times  18576  ringcom  18579  ringnegl  18594  rngnegr  18595  ringmneg1  18596  ringmneg2  18597  imasring  18619  opprring  18631  dvdsrid  18651  dvdsrneg  18654  1unit  18658  ringinvdv  18694  isdrng2  18757  isdrngd  18772  subrgid  18782  abv1z  18832  abvneg  18834  srng1  18859  issrngd  18861  lmod1cl  18890  lmodvsneg  18907  lmodsubvs  18919  lmodsubdi  18920  lmodsubdir  18921  lmodprop2d  18925  rmodislmod  18931  lssvnegcl  18956  prdslmodd  18969  lmodvsinv  19036  islmhm2  19038  lbsind2  19081  lspsneq  19122  lspexch  19129  lidl1el  19218  rsp1  19224  lpi1  19248  isnzr2  19263  isnzr2hash  19264  0ring01eq  19271  fidomndrnglem  19306  asclf  19337  asclghm  19338  asclmul1  19339  asclmul2  19340  asclrhm  19342  rnascl  19343  assamulgscmlem1  19348  psrlmod  19401  psr1cl  19402  mvrf  19424  mplsubrg  19440  mplmon  19463  mplmonmul  19464  mplcoe1  19465  mplind  19502  evlslem1  19515  coe1pwmul  19649  ply1scl0  19660  ply1scl1  19662  ply1idvr1  19663  lply1binomsc  19677  mulgrhm  19846  chrcl  19874  chrid  19875  chrdvds  19876  chrcong  19877  zncyg  19897  zrhpsgnelbas  19940  uvcvvcl2  20127  uvcff  20130  lindfind2  20157  mamumat1cl  20245  mat1bas  20255  matsc  20256  mat0dimid  20274  mat1mhm  20290  dmatid  20301  scmatscmide  20313  scmatscmiddistr  20314  scmatmats  20317  scmatscm  20319  scmatid  20320  scmataddcl  20322  scmatsubcl  20323  scmatmulcl  20324  smatvscl  20330  scmatrhmcl  20334  scmatf1  20337  scmatmhm  20340  mat0scmat  20344  mat1scmat  20345  mdet0pr  20398  mdet1  20407  mdetunilem8  20425  mdetunilem9  20426  mdetuni0  20427  mdetmul  20429  m2detleiblem5  20431  m2detleiblem6  20432  maducoeval2  20446  maduf  20447  madutpos  20448  madugsum  20449  madulid  20451  minmar1marrep  20456  minmar1cl  20457  marep01ma  20466  smadiadetglem1  20477  smadiadetglem2  20478  matinv  20483  1pmatscmul  20507  1elcpmat  20520  mat2pmat1  20537  decpmatid  20575  idpm2idmp  20606  chmatcl  20633  chmatval  20634  chpmat1dlem  20640  chpmat1d  20641  chpdmatlem0  20642  chpdmatlem2  20644  chpdmatlem3  20645  chpidmat  20652  chmaidscmat  20653  cpmidgsumm2pm  20674  cpmidpmatlem2  20676  cpmidpmatlem3  20677  cpmadugsumlemB  20679  cpmadugsumfi  20682  cpmidgsum2  20684  chcoeffeqlem  20690  tlmtgp  21999  nrginvrcnlem  22495  clmvsubval  22909  cvsmuleqdivd  22934  cphsubrglem  22977  deg1pwle  23879  deg1pw  23880  ply1nz  23881  ply1remlem  23922  dchrmulcl  24974  dchrinv  24986  dchrhash  24996  lgsqrlem1  25071  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  lgsqrlem4  25074  orng0le1  29812  ofldchr  29814  suborng  29815  isarchiofld  29817  elrhmunit  29820  submatminr1  29876  madjusmdetlem1  29893  zrhnm  30013  zrhchr  30020  qqh1  30029  qqhucn  30036  lflsub  34354  eqlkr  34386  eqlkr3  34388  lduallmodlem  34439  ldualvsubcl  34443  ldualvsubval  34444  dochfl1  36765  lcfrlem2  36832  lcdvsubval  36907  mapdpglem30  36991  hgmapval1  37185  hdmapglem5  37214  mendlmod  37763  idomodle  37774  isdomn3  37782  mon1pid  37783  mon1psubm  37784  deg1mhm  37785  lidldomn1  41921  mgpsumn  42142  ascl0  42165  ascl1  42166  ply1sclrmsm  42171  coe1id  42172  evl1at1  42180  linc0scn0  42212  linc1  42214  islindeps2  42272  lmod1lem5  42280