Theorem shscli 28176

Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shscl.1	|- A e. SH
shscl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shscli	|- ( A +H B ) e. SH

Proof of Theorem shscli

Dummy variables x f y z w g v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shscl.1	. . . 4 |- A e. SH
2		shscl.2	. . . 4 |- B e. SH
3		shsss 28172	. . . 4 |- ( ( A e. SH /\ B e. SH ) -> ( A +H B ) C_ ~H )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . 3 |- ( A +H B ) C_ ~H
5		sh0 28073	. . . . . 6 |- ( A e. SH -> 0h e. A )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0h e. A
7		sh0 28073	. . . . . 6 |- ( B e. SH -> 0h e. B )
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0h e. B
9		ax-hv0cl 27860	. . . . . . 7 |- 0h e. ~H
10	9	hvaddid2i 27886	. . . . . 6 |- ( 0h +h 0h ) = 0h
11	10	eqcomi 2631	. . . . 5 |- 0h = ( 0h +h 0h )
12		rspceov 6692	. . . . 5 |- ( ( 0h e. A /\ 0h e. B /\ 0h = ( 0h +h 0h ) ) -> E. x e. A E. y e. B 0h = ( x +h y ) )
13	6, 8, 11, 12	mp3an 1424	. . . 4 |- E. x e. A E. y e. B 0h = ( x +h y )
14	1, 2	shseli 28175	. . . 4 |- ( 0h e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B 0h = ( x +h y ) )
15	13, 14	mpbir 221	. . 3 |- 0h e. ( A +H B )
16	4, 15	pm3.2i 471	. 2 |- ( ( A +H B ) C_ ~H /\ 0h e. ( A +H B ) )
17	1, 2	shseli 28175	. . . . . 6 |- ( x e. ( A +H B ) <-> E. z e. A E. w e. B x = ( z +h w ) )
18	1, 2	shseli 28175	. . . . . 6 |- ( y e. ( A +H B ) <-> E. v e. A E. u e. B y = ( v +h u ) )
19		shaddcl 28074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. SH /\ z e. A /\ v e. A ) -> ( z +h v ) e. A )
20	1, 19	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. A /\ v e. A ) -> ( z +h v ) e. A )
21	20	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ ( v e. A /\ u e. B ) ) -> ( z +h v ) e. A )
22	21	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ x = ( z +h w ) ) /\ ( ( v e. A /\ u e. B ) /\ y = ( v +h u ) ) ) -> ( z +h v ) e. A )
23		shaddcl 28074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. SH /\ w e. B /\ u e. B ) -> ( w +h u ) e. B )
24	2, 23	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. B /\ u e. B ) -> ( w +h u ) e. B )
25	24	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ ( v e. A /\ u e. B ) ) -> ( w +h u ) e. B )
26	25	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ x = ( z +h w ) ) /\ ( ( v e. A /\ u e. B ) /\ y = ( v +h u ) ) ) -> ( w +h u ) e. B )
27		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( z +h w ) /\ y = ( v +h u ) ) -> ( x +h y ) = ( ( z +h w ) +h ( v +h u ) ) )
28	27	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ x = ( z +h w ) ) /\ ( ( v e. A /\ u e. B ) /\ y = ( v +h u ) ) ) -> ( x +h y ) = ( ( z +h w ) +h ( v +h u ) ) )
29	1	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. A -> z e. ~H )
30	1	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. A -> v e. ~H )
31	29, 30	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. A /\ v e. A ) -> ( z e. ~H /\ v e. ~H ) )
32	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. B -> w e. ~H )
33	2	sheli 28071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. B -> u e. ~H )
34	32, 33	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. B /\ u e. B ) -> ( w e. ~H /\ u e. ~H ) )
35		hvadd4 27893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z e. ~H /\ v e. ~H ) /\ ( w e. ~H /\ u e. ~H ) ) -> ( ( z +h v ) +h ( w +h u ) ) = ( ( z +h w ) +h ( v +h u ) ) )
36	31, 34, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. A /\ v e. A ) /\ ( w e. B /\ u e. B ) ) -> ( ( z +h v ) +h ( w +h u ) ) = ( ( z +h w ) +h ( v +h u ) ) )
37	36	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ ( v e. A /\ u e. B ) ) -> ( ( z +h v ) +h ( w +h u ) ) = ( ( z +h w ) +h ( v +h u ) ) )
38	37	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ x = ( z +h w ) ) /\ ( ( v e. A /\ u e. B ) /\ y = ( v +h u ) ) ) -> ( ( z +h v ) +h ( w +h u ) ) = ( ( z +h w ) +h ( v +h u ) ) )
39	28, 38	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ x = ( z +h w ) ) /\ ( ( v e. A /\ u e. B ) /\ y = ( v +h u ) ) ) -> ( x +h y ) = ( ( z +h v ) +h ( w +h u ) ) )
40		rspceov 6692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z +h v ) e. A /\ ( w +h u ) e. B /\ ( x +h y ) = ( ( z +h v ) +h ( w +h u ) ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) )
41	22, 26, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ x = ( z +h w ) ) /\ ( ( v e. A /\ u e. B ) /\ y = ( v +h u ) ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) )
42	41	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( v e. A /\ u e. B ) /\ y = ( v +h u ) ) /\ ( ( z e. A /\ w e. B ) /\ x = ( z +h w ) ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) )
43	42	exp43 640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. A /\ u e. B ) -> ( y = ( v +h u ) -> ( ( z e. A /\ w e. B ) -> ( x = ( z +h w ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) ) ) ) )
44	43	rexlimivv 3036	. . . . . . . . 9 |- ( E. v e. A E. u e. B y = ( v +h u ) -> ( ( z e. A /\ w e. B ) -> ( x = ( z +h w ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) ) ) )
45	44	com3l 89	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ w e. B ) -> ( x = ( z +h w ) -> ( E. v e. A E. u e. B y = ( v +h u ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) ) ) )
46	45	rexlimivv 3036	. . . . . . 7 |- ( E. z e. A E. w e. B x = ( z +h w ) -> ( E. v e. A E. u e. B y = ( v +h u ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) ) )
47	46	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( E. z e. A E. w e. B x = ( z +h w ) /\ E. v e. A E. u e. B y = ( v +h u ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) )
48	17, 18, 47	syl2anb 496	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A +H B ) /\ y e. ( A +H B ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) )
49	1, 2	shseli 28175	. . . . 5 |- ( ( x +h y ) e. ( A +H B ) <-> E. f e. A E. g e. B ( x +h y ) = ( f +h g ) )
50	48, 49	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( x e. ( A +H B ) /\ y e. ( A +H B ) ) -> ( x +h y ) e. ( A +H B ) )
51	50	rgen2a 2977	. . 3 |- A. x e. ( A +H B ) A. y e. ( A +H B ) ( x +h y ) e. ( A +H B )
52		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. SH /\ x e. CC /\ v e. A ) -> ( x .h v ) e. A )
53	1, 52	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ v e. A ) -> ( x .h v ) e. A )
54	53	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( v e. A /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) ) -> ( x .h v ) e. A )
55		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. SH /\ x e. CC /\ u e. B ) -> ( x .h u ) e. B )
56	2, 55	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ u e. B ) -> ( x .h u ) e. B )
57	56	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) -> ( x .h u ) e. B )
58	57	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( v e. A /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) ) -> ( x .h u ) e. B )
59		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( v +h u ) -> ( x .h y ) = ( x .h ( v +h u ) ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) -> ( x .h y ) = ( x .h ( v +h u ) ) )
61	60	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ ( v e. A /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) ) -> ( x .h y ) = ( x .h ( v +h u ) ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> x e. CC )
63		ax-hvdistr1 27865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ v e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( x .h ( v +h u ) ) = ( ( x .h v ) +h ( x .h u ) ) )
64	62, 30, 33, 63	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ v e. A /\ u e. B ) -> ( x .h ( v +h u ) ) = ( ( x .h v ) +h ( x .h u ) ) )
65	64	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ ( v e. A /\ u e. B ) ) -> ( x .h ( v +h u ) ) = ( ( x .h v ) +h ( x .h u ) ) )
66	65	adantrrr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ ( v e. A /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) ) -> ( x .h ( v +h u ) ) = ( ( x .h v ) +h ( x .h u ) ) )
67	61, 66	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ ( v e. A /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) ) -> ( x .h y ) = ( ( x .h v ) +h ( x .h u ) ) )
68		rspceov 6692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x .h v ) e. A /\ ( x .h u ) e. B /\ ( x .h y ) = ( ( x .h v ) +h ( x .h u ) ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) )
69	54, 58, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( v e. A /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) )
70	69	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( v e. A /\ ( u e. B /\ y = ( v +h u ) ) ) /\ x e. CC ) -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) )
71	70	exp42 639	. . . . . . . . 9 |- ( v e. A -> ( u e. B -> ( y = ( v +h u ) -> ( x e. CC -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) ) ) ) )
72	71	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. A /\ u e. B ) -> ( y = ( v +h u ) -> ( x e. CC -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) ) ) )
73	72	rexlimivv 3036	. . . . . . 7 |- ( E. v e. A E. u e. B y = ( v +h u ) -> ( x e. CC -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) ) )
74	73	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ E. v e. A E. u e. B y = ( v +h u ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) )
75	18, 74	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( A +H B ) ) -> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) )
76	1, 2	shseli 28175	. . . . 5 |- ( ( x .h y ) e. ( A +H B ) <-> E. f e. A E. g e. B ( x .h y ) = ( f +h g ) )
77	75, 76	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( A +H B ) ) -> ( x .h y ) e. ( A +H B ) )
78	77	rgen2 2975	. . 3 |- A. x e. CC A. y e. ( A +H B ) ( x .h y ) e. ( A +H B )
79	51, 78	pm3.2i 471	. 2 |- ( A. x e. ( A +H B ) A. y e. ( A +H B ) ( x +h y ) e. ( A +H B ) /\ A. x e. CC A. y e. ( A +H B ) ( x .h y ) e. ( A +H B ) )
80		issh2 28066	. 2 |- ( ( A +H B ) e. SH <-> ( ( ( A +H B ) C_ ~H /\ 0h e. ( A +H B ) ) /\ ( A. x e. ( A +H B ) A. y e. ( A +H B ) ( x +h y ) e. ( A +H B ) /\ A. x e. CC A. y e. ( A +H B ) ( x .h y ) e. ( A +H B ) ) ) )
81	16, 79, 80	mpbir2an 955	1 |- ( A +H B ) e. SH

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   SHcsh 27785   +H cph 27788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-hvsub 27828  df-sh 28064  df-shs 28167

This theorem is referenced by:  shscl  28177  shsval2i  28246  shjshsi  28351  spanuni  28403  5oalem1  28513  5oalem3  28515  5oalem5  28517  5oalem6  28518  5oai  28520  3oalem2  28522  3oalem6  28526  mayete3i  28587  sumdmdlem  29277