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Theorem mayete3i 28587
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a |- A e. CH
mayete3.b |- B e. CH
mayete3.c |- C e. CH
mayete3.d |- D e. CH
mayete3.f |- F e. CH
mayete3.g |- G e. CH
mayete3.ac |- A C_ ( _|_ ` C )
mayete3.af |- A C_ ( _|_ ` F )
mayete3.cf |- C C_ ( _|_ ` F )
mayete3.ab |- A C_ ( _|_ ` B )
mayete3.cd |- C C_ ( _|_ ` D )
mayete3.fg |- F C_ ( _|_ ` G )
mayete3.x |- X = ( ( A vH C ) vH F )
mayete3.y |- Y = ( ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) i^i ( F vH G ) )
mayete3.z |- Z = ( ( B vH D ) vH G )
Assertion
Ref Expression
mayete3i |- ( X i^i Y ) C_ Z
Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3796 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X i^i Y ) <-> ( x e. X /\ x e. Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13 |- A e. CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13 |- C e. CH
42, 3chjcli 28316 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A vH C ) e. CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12 |- F e. CH
64, 5chjcli 28316 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A vH C ) vH F ) e. CH
76cheli 28089 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( A vH C ) vH F ) -> x e. ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10 |- X = ( ( A vH C ) vH F )
97, 8eleq2s 2719 . . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> x e. ~H )
109adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. X /\ x e. Y ) -> x e. ~H )
111, 10sylbi 207 . . . . . . 7 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> x e. ~H )
12 ax-hvmulid 27863 . . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( 1 .h x ) = x )
13 2cn 11091 . . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
14 2ne0 11113 . . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
15 recid2 10700 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) = 1 )
1613, 14, 15mp2an 708 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) = 1
1716oveq1i 6660 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) .h x ) = ( 1 .h x )
18 halfcn 11247 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
19 ax-hvmulass 27864 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) .h x ) = ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1414 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( ( ( 1 / 2 ) x. 2 ) .h x ) = ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) )
2117, 20syl5eqr 2670 . . . . . . . 8 |- ( x e. ~H -> ( 1 .h x ) = ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) )
2212, 21eqtr3d 2658 . . . . . . 7 |- ( x e. ~H -> x = ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) )
2311, 22syl 17 . . . . . 6 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> x = ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) )
24 hv2times 27918 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~H -> ( 2 .h x ) = ( x +h x ) )
2524oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~H -> ( ( 2 .h x ) +h x ) = ( ( x +h x ) +h x ) )
2611, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( 2 .h x ) +h x ) = ( ( x +h x ) +h x ) )
27 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i Y ) C_ Y
2827sseli 3599 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> x e. Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y = ( ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) i^i ( F vH G ) )
3029elin2 3801 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. Y <-> ( x e. ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) /\ x e. ( F vH G ) ) )
31 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) <-> ( x e. ( A vH B ) /\ x e. ( C vH D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A C_ ( _|_ ` B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B e. CH
342, 33pjdsi 28571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( A vH B ) /\ A C_ ( _|_ ` B ) ) -> x = ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` B ) ` x ) ) )
3532, 34mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( A vH B ) -> x = ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` B ) ` x ) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- C C_ ( _|_ ` D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- D e. CH
383, 37pjdsi 28571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( C vH D ) /\ C C_ ( _|_ ` D ) ) -> x = ( ( ( proj h ` C ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) )
3936, 38mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( C vH D ) -> x = ( ( ( proj h ` C ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) )
4035, 39oveqan12d 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A vH B ) /\ x e. ( C vH D ) ) -> ( x +h x ) = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` B ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` C ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) )
4131, 40sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) -> ( x +h x ) = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` B ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` C ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) )
42 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) C_ ( A vH B )
4342sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) -> x e. ( A vH B ) )
442, 33chjcli 28316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A vH B ) e. CH
4544cheli 28089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A vH B ) -> x e. ~H )
462pjhcli 28277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` A ) ` x ) e. ~H )
4733pjhcli 28277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` B ) ` x ) e. ~H )
483pjhcli 28277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` C ) ` x ) e. ~H )
4937pjhcli 28277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` D ) ` x ) e. ~H )
50 hvadd4 27893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) e. ~H /\ ( ( proj h ` B ) ` x ) e. ~H ) /\ ( ( ( proj h ` C ) ` x ) e. ~H /\ ( ( proj h ` D ) ` x ) e. ~H ) ) -> ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` B ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` C ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ~H -> ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` B ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` C ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) )
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) -> ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` B ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` C ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) )
5341, 52eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) -> ( x +h x ) = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F C_ ( _|_ ` G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G e. CH
565, 55pjdsi 28571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( F vH G ) /\ F C_ ( _|_ ` G ) ) -> x = ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) )
5754, 56mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( F vH G ) -> x = ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) )
5853, 57oveqan12d 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( ( A vH B ) i^i ( C vH D ) ) /\ x e. ( F vH G ) ) -> ( ( x +h x ) +h x ) = ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) +h ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) )
5930, 58sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Y -> ( ( x +h x ) +h x ) = ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) +h ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) )
6028, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( x +h x ) +h x ) = ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) +h ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) )
61 hvaddcl 27869 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) e. ~H /\ ( ( proj h ` C ) ` x ) e. ~H ) -> ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) e. ~H )
6246, 48, 61syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~H -> ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) e. ~H )
63 hvaddcl 27869 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) e. ~H /\ ( ( proj h ` D ) ` x ) e. ~H ) -> ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) e. ~H )
6447, 49, 63syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~H -> ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) e. ~H )
655pjhcli 28277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` F ) ` x ) e. ~H )
6655pjhcli 28277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` G ) ` x ) e. ~H )
67 hvadd4 27893 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) e. ~H /\ ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) e. ~H ) /\ ( ( ( proj h ` F ) ` x ) e. ~H /\ ( ( proj h ` G ) ` x ) e. ~H ) ) -> ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) +h ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~H -> ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) +h ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) )
6911, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) ) +h ( ( ( proj h ` F ) ` x ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( 2 .h x ) +h x ) = ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) )
71 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i Y ) C_ X
7271sseli 3599 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> x e. X )
7372, 8syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> x e. ( ( A vH C ) vH F ) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( _|_ ` C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( _|_ ` F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13 |- C C_ ( _|_ ` F )
772, 3, 5pjds3i 28572 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( ( A vH C ) vH F ) /\ A C_ ( _|_ ` C ) ) /\ ( A C_ ( _|_ ` F ) /\ C C_ ( _|_ ` F ) ) ) -> x = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 721 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ( A vH C ) vH F ) /\ A C_ ( _|_ ` C ) ) -> x = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) )
7973, 74, 78sylancl 694 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> x = ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) )
8070, 79oveq12d 6668 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( ( 2 .h x ) +h x ) -h x ) = ( ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) -h ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) ) )
81 hvmulcl 27870 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ x e. ~H ) -> ( 2 .h x ) e. ~H )
8213, 81mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~H -> ( 2 .h x ) e. ~H )
83 hvpncan 27896 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 .h x ) e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( 2 .h x ) +h x ) -h x ) = ( 2 .h x ) )
8482, 83mpancom 703 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~H -> ( ( ( 2 .h x ) +h x ) -h x ) = ( 2 .h x ) )
8511, 84syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( ( 2 .h x ) +h x ) -h x ) = ( 2 .h x ) )
8680, 85eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) -h ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) ) = ( 2 .h x ) )
87 hvaddcl 27869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) e. ~H /\ ( ( proj h ` F ) ` x ) e. ~H ) -> ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) e. ~H )
8862, 65, 87syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~H -> ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) e. ~H )
89 hvaddcl 27869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) e. ~H /\ ( ( proj h ` G ) ` x ) e. ~H ) -> ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) e. ~H )
9064, 66, 89syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~H -> ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) e. ~H )
91 hvpncan2 27897 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) e. ~H /\ ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) e. ~H ) -> ( ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) -h ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) )
9288, 90, 91syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~H -> ( ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) -h ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) )
9311, 92syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) +h ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) ) -h ( ( ( ( proj h ` A ) ` x ) +h ( ( proj h ` C ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` F ) ` x ) ) ) = ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) )
9486, 93eqtr3d 2658 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( 2 .h x ) = ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) )
9533pjcli 28276 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` B ) ` x ) e. B )
9637pjcli 28276 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` D ) ` x ) e. D )
9733chshii 28084 . . . . . . . . . . . 12 |- B e. SH
9837chshii 28084 . . . . . . . . . . . 12 |- D e. SH
9997, 98shsvai 28223 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) e. B /\ ( ( proj h ` D ) ` x ) e. D ) -> ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) e. ( B +H D ) )
10095, 96, 99syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~H -> ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) e. ( B +H D ) )
10155pjcli 28276 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~H -> ( ( proj h ` G ) ` x ) e. G )
10297, 98shscli 28176 . . . . . . . . . . 11 |- ( B +H D ) e. SH
10355chshii 28084 . . . . . . . . . . 11 |- G e. SH
104102, 103shsvai 28223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) e. ( B +H D ) /\ ( ( proj h ` G ) ` x ) e. G ) -> ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) e. ( ( B +H D ) +H G ) )
105100, 101, 104syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ~H -> ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) e. ( ( B +H D ) +H G ) )
10611, 105syl 17 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( ( ( proj h ` B ) ` x ) +h ( ( proj h ` D ) ` x ) ) +h ( ( proj h ` G ) ` x ) ) e. ( ( B +H D ) +H G ) )
10794, 106eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( 2 .h x ) e. ( ( B +H D ) +H G ) )
108102, 103shscli 28176 . . . . . . . 8 |- ( ( B +H D ) +H G ) e. SH
109 shmulcl 28075 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B +H D ) +H G ) e. SH /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( 2 .h x ) e. ( ( B +H D ) +H G ) ) -> ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) e. ( ( B +H D ) +H G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1414 . . . . . . 7 |- ( ( 2 .h x ) e. ( ( B +H D ) +H G ) -> ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) e. ( ( B +H D ) +H G ) )
111107, 110syl 17 . . . . . 6 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> ( ( 1 / 2 ) .h ( 2 .h x ) ) e. ( ( B +H D ) +H G ) )
11223, 111eqeltrd 2701 . . . . 5 |- ( x e. ( X i^i Y ) -> x e. ( ( B +H D ) +H G ) )
113112ssriv 3607 . . . 4 |- ( X i^i Y ) C_ ( ( B +H D ) +H G )
11433, 37chsleji 28317 . . . . 5 |- ( B +H D ) C_ ( B vH D )
11533, 37chjcli 28316 . . . . . . 7 |- ( B vH D ) e. CH
116115chshii 28084 . . . . . 6 |- ( B vH D ) e. SH
117102, 116, 103shlessi 28236 . . . . 5 |- ( ( B +H D ) C_ ( B vH D ) -> ( ( B +H D ) +H G ) C_ ( ( B vH D ) +H G ) )
118114, 117ax-mp 5 . . . 4 |- ( ( B +H D ) +H G ) C_ ( ( B vH D ) +H G )
119113, 118sstri 3612 . . 3 |- ( X i^i Y ) C_ ( ( B vH D ) +H G )
120115, 55chsleji 28317 . . 3 |- ( ( B vH D ) +H G ) C_ ( ( B vH D ) vH G )
121119, 120sstri 3612 . 2 |- ( X i^i Y ) C_ ( ( B vH D ) vH G )
122 mayete3.z . 2 |- Z = ( ( B vH D ) vH G )
123121, 122sseqtr4i 3638 1 |- ( X i^i Y ) C_ Z
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   2c2 11070   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   -h cmv 27782   SHcsh 27785   CHcch 27786   _|_cort 27787   +H cph 27788   vH chj 27790   proj hcpjh 27794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-chj 28169  df-pjh 28254
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