Theorem spanuni 28403

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	|- A C_ ~H
spanun.2	|- B C_ ~H

Assertion

Ref	Expression
spanuni	|- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Proof of Theorem spanuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 |- A C_ ~H
2		spancl 28195	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> ( span ` A ) e. SH )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` A ) e. SH
4		spanun.2	. . . . . . 7 |- B C_ ~H
5		spancl 28195	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> ( span ` B ) e. SH )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( span ` B ) e. SH
7	3, 6	shscli 28176	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH
8	7	shssii 28070	. . . 4 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H
9		spanss2 28204	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~H -> A C_ ( span ` A ) )
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- A C_ ( span ` A )
11		spanss2 28204	. . . . . . 7 |- ( B C_ ~H -> B C_ ( span ` B ) )
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- B C_ ( span ` B )
13		unss12 3785	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ( span ` A ) /\ B C_ ( span ` B ) ) -> ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) )
14	10, 12, 13	mp2an 708	. . . . 5 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) )
15	3, 6	shunssi 28227	. . . . 5 |- ( ( span ` A ) u. ( span ` B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
16	14, 15	sstri 3612	. . . 4 |- ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
17		spanss 28207	. . . 4 |- ( ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ~H /\ ( A u. B ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) -> ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) )
18	8, 16, 17	mp2an 708	. . 3 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
19		spanid 28206	. . . 4 |- ( ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) e. SH -> ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) )
20	7, 19	ax-mp 5	. . 3 |- ( span ` ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
21	18, 20	sseqtri 3637	. 2 |- ( span ` ( A u. B ) ) C_ ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )
22	3, 6	shseli 28175	. . . . 5 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) )
23		r2ex 3061	. . . . 5 |- ( E. z e. ( span ` A ) E. w e. ( span ` B ) x = ( z +h w ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
24	22, 23	bitri 264	. . . 4 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) <-> E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
25		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
26	25	elspani 28402	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~H -> ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) ) )
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( span ` A ) <-> A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) )
28		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
29	28	elspani 28402	. . . . . . . . . 10 |- ( B C_ ~H -> ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
30	4, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( span ` B ) <-> A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) )
31	27, 30	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
32		r19.26 3064	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) <-> ( A. y e. SH ( A C_ y -> z e. y ) /\ A. y e. SH ( B C_ y -> w e. y ) ) )
33	31, 32	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) )
34		r19.27v 3070	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. SH ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
35	33, 34	sylanb 489	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) )
36		unss 3787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ y /\ B C_ y ) <-> ( A u. B ) C_ y )
37		prth 595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A C_ y /\ B C_ y ) -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
38	36, 37	syl5bir 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z e. y /\ w e. y ) ) )
39		shaddcl 28074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. SH /\ z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y )
40	39	3expib 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. SH -> ( ( z e. y /\ w e. y ) -> ( z +h w ) e. y ) )
41	38, 40	sylan9r 690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> ( z +h w ) e. y ) )
42		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z +h w ) -> ( x e. y <-> ( z +h w ) e. y ) )
43	42	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z +h w ) -> ( ( z +h w ) e. y -> x e. y ) )
44	41, 43	sylan9 689	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. SH /\ ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
45	44	expl 648	. . . . . . . 8 |- ( y e. SH -> ( ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
46	45	ralimia 2950	. . . . . . 7 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
47	1, 4	unssi 3788	. . . . . . . 8 |- ( A u. B ) C_ ~H
48		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
49	48	elspani 28402	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) C_ ~H -> ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( x e. ( span ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. SH ( ( A u. B ) C_ y -> x e. y ) )
51	46, 50	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( A. y e. SH ( ( ( A C_ y -> z e. y ) /\ ( B C_ y -> w e. y ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
52	35, 51	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
53	52	exlimivv 1860	. . . 4 |- ( E. z E. w ( ( z e. ( span ` A ) /\ w e. ( span ` B ) ) /\ x = ( z +h w ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
54	24, 53	sylbi 207	. . 3 |- ( x e. ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) -> x e. ( span ` ( A u. B ) ) )
55	54	ssriv 3607	. 2 |- ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) ) C_ ( span ` ( A u. B ) )
56	21, 55	eqssi 3619	1 |- ( span ` ( A u. B ) ) = ( ( span ` A ) +H ( span ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   +h cva 27777   SHcsh 27785   +H cph 27788   spancspn 27789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-haus 21119  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168

This theorem is referenced by:  spanun  28404  spanunsni  28438  spansnji  28505