Theorem sumdmdlem 29277

Description: Lemma for sumdmdi 29279. The span of vector C not in the subspace sum is "trimmed off." (Contributed by NM, 18-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	|- A e. CH
sumdmdi.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem	|- ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) = ( B i^i A ) )

Proof of Theorem sumdmdlem

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . . 4 |- ( y e. ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) <-> ( y e. ( B +H ( span ` { C } ) ) /\ y e. A ) )
2		sumdmdi.2	. . . . . . . . 9 |- B e. CH
3	2	chshii 28084	. . . . . . . 8 |- B e. SH
4		spansnsh 28420	. . . . . . . 8 |- ( C e. ~H -> ( span ` { C } ) e. SH )
5		shsel 28173	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. SH /\ ( span ` { C } ) e. SH ) -> ( y e. ( B +H ( span ` { C } ) ) <-> E. z e. B E. w e. ( span ` { C } ) y = ( z +h w ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( C e. ~H -> ( y e. ( B +H ( span ` { C } ) ) <-> E. z e. B E. w e. ( span ` { C } ) y = ( z +h w ) ) )
7		sumdmdi.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- A e. CH
8	7	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y e. A -> y e. ~H )
9	2	cheli 28089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. B -> z e. ~H )
10		elspansncl 28424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( C e. ~H /\ w e. ( span ` { C } ) ) -> w e. ~H )
11		hvsubadd 27934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( y -h z ) = w <-> ( z +h w ) = y ) )
12		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z +h w ) = y <-> y = ( z +h w ) )
13	11, 12	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H /\ w e. ~H ) -> ( ( y -h z ) = w <-> y = ( z +h w ) ) )
14	8, 9, 10, 13	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. A /\ z e. B /\ ( C e. ~H /\ w e. ( span ` { C } ) ) ) -> ( ( y -h z ) = w <-> y = ( z +h w ) ) )
15	14	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ( C e. ~H /\ w e. ( span ` { C } ) ) ) -> ( ( y -h z ) = w <-> y = ( z +h w ) ) )
16	7	chshii 28084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- A e. SH
17	16, 3	shsvsi 28226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( y -h z ) e. ( A +H B ) )
18		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y -h z ) = w -> ( ( y -h z ) e. ( A +H B ) <-> w e. ( A +H B ) ) )
19	17, 18	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( ( y -h z ) = w -> w e. ( A +H B ) ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ( C e. ~H /\ w e. ( span ` { C } ) ) ) -> ( ( y -h z ) = w -> w e. ( A +H B ) ) )
21	15, 20	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ ( C e. ~H /\ w e. ( span ` { C } ) ) ) -> ( y = ( z +h w ) -> w e. ( A +H B ) ) )
22	21	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( C e. ~H -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( y = ( z +h w ) -> w e. ( A +H B ) ) ) ) )
23	22	com4r 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( z +h w ) -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( C e. ~H -> ( w e. ( span ` { C } ) -> w e. ( A +H B ) ) ) ) )
24	23	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ C e. ~H ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> w e. ( A +H B ) ) )
25	24	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> w e. ( A +H B ) ) )
26	16, 3	shscli 28176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A +H B ) e. SH
27		elspansn5 28433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A +H B ) e. SH -> ( ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) /\ ( w e. ( span ` { C } ) /\ w e. ( A +H B ) ) ) -> w = 0h ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) /\ ( w e. ( span ` { C } ) /\ w e. ( A +H B ) ) ) -> w = 0h )
29	28	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( w e. ( A +H B ) -> w = 0h ) ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( w e. ( A +H B ) -> w = 0h ) ) )
31	25, 30	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> w = 0h ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w = 0h -> ( z +h w ) = ( z +h 0h ) )
33		ax-hvaddid 27861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z e. ~H -> ( z +h 0h ) = z )
34	32, 33	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ~H /\ w = 0h ) -> ( z +h w ) = z )
35	9, 34	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. B /\ w = 0h ) -> ( z +h w ) = z )
36	35	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. B /\ w = 0h ) -> ( y = ( z +h w ) <-> y = z ) )
37	36	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ w = 0h ) -> ( y = ( z +h w ) <-> y = z ) )
38	37	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y = ( z +h w ) /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ w = 0h ) ) -> y = z )
39		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = z -> ( y e. B <-> z e. B ) )
40	39	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. B /\ y = z ) -> y e. B )
41		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. ( B i^i A ) <-> ( y e. B /\ y e. A ) )
42	41	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( y e. B /\ y e. A ) -> y e. ( B i^i A ) )
43	42	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y e. A /\ y e. B ) -> y e. ( B i^i A ) )
44	40, 43	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. A /\ ( z e. B /\ y = z ) ) -> y e. ( B i^i A ) )
45	44	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ( y = z -> y e. ( B i^i A ) ) )
46	45	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y = ( z +h w ) /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ w = 0h ) ) -> ( y = z -> y e. ( B i^i A ) ) )
47	38, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y = ( z +h w ) /\ ( ( y e. A /\ z e. B ) /\ w = 0h ) ) -> y e. ( B i^i A ) )
48	47	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( w = 0h -> y e. ( B i^i A ) ) )
49	48	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( w = 0h -> y e. ( B i^i A ) ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( w = 0h -> y e. ( B i^i A ) ) ) )
51	31, 50	mpdd 43	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) /\ ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> y e. ( B i^i A ) ) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> y e. ( B i^i A ) ) ) )
53	52	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = ( z +h w ) /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> y e. ( B i^i A ) ) ) )
54	53	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( z +h w ) -> ( y e. A -> ( z e. B -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) ) )
55	54	com4l 92	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> ( z e. B -> ( w e. ( span ` { C } ) -> ( y = ( z +h w ) -> ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) ) )
56	55	imp4c 617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( ( ( z e. B /\ w e. ( span ` { C } ) ) /\ y = ( z +h w ) ) -> ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> y e. ( B i^i A ) ) ) )
57	56	exp4a 633	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( ( ( z e. B /\ w e. ( span ` { C } ) ) /\ y = ( z +h w ) ) -> ( C e. ~H -> ( -. C e. ( A +H B ) -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) )
58	57	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( C e. ~H -> ( ( ( z e. B /\ w e. ( span ` { C } ) ) /\ y = ( z +h w ) ) -> ( -. C e. ( A +H B ) -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) )
59	58	com4l 92	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ~H -> ( ( ( z e. B /\ w e. ( span ` { C } ) ) /\ y = ( z +h w ) ) -> ( -. C e. ( A +H B ) -> ( y e. A -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) )
60	59	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( C e. ~H -> ( ( z e. B /\ w e. ( span ` { C } ) ) -> ( y = ( z +h w ) -> ( -. C e. ( A +H B ) -> ( y e. A -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) ) )
61	60	rexlimdvv 3037	. . . . . . 7 |- ( C e. ~H -> ( E. z e. B E. w e. ( span ` { C } ) y = ( z +h w ) -> ( -. C e. ( A +H B ) -> ( y e. A -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) )
62	6, 61	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( C e. ~H -> ( y e. ( B +H ( span ` { C } ) ) -> ( -. C e. ( A +H B ) -> ( y e. A -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) )
63	62	com23 86	. . . . 5 |- ( C e. ~H -> ( -. C e. ( A +H B ) -> ( y e. ( B +H ( span ` { C } ) ) -> ( y e. A -> y e. ( B i^i A ) ) ) ) )
64	63	imp4b 613	. . . 4 |- ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( ( y e. ( B +H ( span ` { C } ) ) /\ y e. A ) -> y e. ( B i^i A ) ) )
65	1, 64	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( y e. ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) -> y e. ( B i^i A ) ) )
66	65	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) C_ ( B i^i A ) )
67		shsub1 28183	. . . . 5 |- ( ( B e. SH /\ ( span ` { C } ) e. SH ) -> B C_ ( B +H ( span ` { C } ) ) )
68	3, 4, 67	sylancr 695	. . . 4 |- ( C e. ~H -> B C_ ( B +H ( span ` { C } ) ) )
69		ssrin 3838	. . . 4 |- ( B C_ ( B +H ( span ` { C } ) ) -> ( B i^i A ) C_ ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) )
70	68, 69	syl 17	. . 3 |- ( C e. ~H -> ( B i^i A ) C_ ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) )
71	70	adantr 481	. 2 |- ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( B i^i A ) C_ ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) )
72	66, 71	eqssd 3620	1 |- ( ( C e. ~H /\ -. C e. ( A +H B ) ) -> ( ( B +H ( span ` { C } ) ) i^i A ) = ( B i^i A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   +h cva 27777   0hc0v 27781   -h cmv 27782   SHcsh 27785   CHcch 27786   +H cph 27788   spancspn 27789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168

This theorem is referenced by:  sumdmdlem2  29278