Theorem stoweidlem20 40237

Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem20.1	|- F/ t ph
stoweidlem20.2	|- F = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) )
stoweidlem20.3	|- ( ph -> M e. NN )
stoweidlem20.4	|- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> A )
stoweidlem20.5	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem20.6	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem20	|- ( ph -> F e. A )

Distinct variable groups:   f, g, i, t, G   A, f, g   T, f, g, i, t   ph, f, g, i   i, M, t

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t, i)   F( t, f, g, i)   M( f, g)

Proof of Theorem stoweidlem20

Dummy variables x y n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem20.2	. 2 |- F = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) )
2		stoweidlem20.3	. . 3 |- ( ph -> M e. NN )
3	2	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
4	3	leidd 10594	. . . 4 |- ( ph -> M <_ M )
5	4	ancli 574	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ M <_ M ) )
6		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( n = M -> ( n e. NN <-> M e. NN ) )
7		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( n <_ M <-> M <_ M ) )
8	7	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( ph /\ n <_ M ) <-> ( ph /\ M <_ M ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... M ) )
10	9	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) )
11	10	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( n = M -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) )
13	8, 12	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( n = M -> ( ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ M <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) )
14	6, 13	imbi12d 334	. . . 4 |- ( n = M -> ( ( n e. NN -> ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) <-> ( M e. NN -> ( ( ph /\ M <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) ) )
15		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( x <_ M <-> 1 <_ M ) )
16	15	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ 1 <_ M ) ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... 1 ) )
18	17	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) )
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) )
21	16, 20	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) )
22		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x <_ M <-> y <_ M ) )
23	22	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ y <_ M ) ) )
24		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... y ) )
25	24	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) )
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) )
28	23, 27	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) )
29		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x <_ M <-> ( y + 1 ) <_ M ) )
30	29	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) )
31		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... ( y + 1 ) ) )
32	31	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) )
33	32	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
34	33	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) )
35	30, 34	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) )
36		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( x <_ M <-> n <_ M ) )
37	36	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( ph /\ x <_ M ) <-> ( ph /\ n <_ M ) ) )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = n -> ( 1 ... x ) = ( 1 ... n ) )
39	38	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) )
40	39	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) )
41	40	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A <-> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) )
42	37, 41	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( ( ph /\ x <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) )
43		stoweidlem20.1	. . . . . . . . 9 |- F/ t ph
44		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
45		stoweidlem20.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G : ( 1 ... M ) --> A )
46		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
47	2, 46	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... M ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. ( 1 ... M ) )
50	45, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ` 1 ) e. A )
51	50	ancli 574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) )
52		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( G ` 1 ) -> ( f e. A <-> ( G ` 1 ) e. A ) )
53	52	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( G ` 1 ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) ) )
54		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( G ` 1 ) -> ( f : T --> RR <-> ( G ` 1 ) : T --> RR ) )
55	53, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( G ` 1 ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) -> ( G ` 1 ) : T --> RR ) ) )
56		stoweidlem20.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
57	55, 56	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G ` 1 ) e. A -> ( ( ph /\ ( G ` 1 ) e. A ) -> ( G ` 1 ) : T --> RR ) )
58	50, 51, 57	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ` 1 ) : T --> RR )
59	58	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` 1 ) ` t ) e. RR )
60	59	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( G ` 1 ) ` t ) e. CC )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( G ` i ) = ( G ` 1 ) )
62	61	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` 1 ) ` t ) )
63	62	fsum1 14476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( G ` 1 ) ` t ) e. CC ) -> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` 1 ) ` t ) )
64	44, 60, 63	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` 1 ) ` t ) )
65	43, 64	mpteq2da 4743	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` 1 ) ` t ) ) )
66	58	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` 1 ) = ( t e. T |-> ( ( G ` 1 ) ` t ) ) )
67	65, 66	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( G ` 1 ) )
68	67, 50	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A )
69	68	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 1 <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... 1 ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A )
70		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ph )
71		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> y e. NN )
72		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( y + 1 ) <_ M )
73		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ph )
74		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. RR )
75	74	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> y e. RR )
76		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> 1 e. RR )
77	75, 76	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) e. RR )
78	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> M e. NN )
79	78	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> M e. RR )
80	75	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> y <_ ( y + 1 ) )
81		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) <_ M )
82	75, 77, 79, 80, 81	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> y <_ M )
83	73, 82	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( ph /\ y <_ M ) )
84	70, 71, 72, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( ph /\ y <_ M ) )
85		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) )
86	84, 85	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A )
87		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t y e. NN
88		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( y + 1 ) <_ M
89	43, 87, 88	nf3an 1831	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M )
90		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> y e. NN )
91	90, 46	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> y e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ph )
93		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
94	2	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
95	94	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> M e. ZZ )
96	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
97		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> i e. ZZ )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i e. ZZ )
99		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> 1 <_ i )
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> 1 <_ i )
101	97	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> i e. RR )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i e. RR )
103	77	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
104	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> M e. RR )
105		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) -> i <_ ( y + 1 ) )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i <_ ( y + 1 ) )
107		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ( y + 1 ) <_ M )
108	102, 103, 104, 106, 107	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i <_ M )
109		elfz4 12335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( 1 <_ i /\ i <_ M ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
110	93, 96, 98, 100, 108, 109	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
111		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> t e. T )
112	45	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` i ) e. A )
113	112	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( G ` i ) e. A )
114		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ph )
115	114, 113	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) )
116		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( G ` i ) -> ( f e. A <-> ( G ` i ) e. A ) )
117	116	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( G ` i ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) ) )
118		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( G ` i ) -> ( f : T --> RR <-> ( G ` i ) : T --> RR ) )
119	117, 118	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( G ` i ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) -> ( G ` i ) : T --> RR ) ) )
120	119, 56	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` i ) e. A -> ( ( ph /\ ( G ` i ) e. A ) -> ( G ` i ) : T --> RR ) )
121	113, 115, 120	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( G ` i ) : T --> RR )
122		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> t e. T )
123	121, 122	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
124	123	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... M ) /\ t e. T ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. CC )
125	92, 110, 111, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. CC )
126		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( y + 1 ) -> ( G ` i ) = ( G ` ( y + 1 ) ) )
127	126	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( y + 1 ) -> ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) )
128	91, 125, 127	fsump1 14487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) )
129		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> t e. T )
130		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( 1 ... y ) e. Fin )
131		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ph )
132		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> 1 e. ZZ )
133	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> M e. ZZ )
134		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... y ) -> i e. ZZ )
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i e. ZZ )
136		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... y ) -> 1 <_ i )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> 1 <_ i )
138	134	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1 ... y ) -> i e. RR )
139	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i e. RR )
140	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ( y + 1 ) e. RR )
141	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> M e. RR )
142	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> y e. RR )
143		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1 ... y ) -> i <_ y )
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ y )
145		letrp1 10865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. RR /\ y e. RR /\ i <_ y ) -> i <_ ( y + 1 ) )
146	139, 142, 144, 145	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ ( y + 1 ) )
147		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ( y + 1 ) <_ M )
148	139, 140, 141, 146, 147	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ M )
149	148	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i <_ M )
150	132, 133, 135, 137, 149, 109	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> i e. ( 1 ... M ) )
151		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> t e. T )
152	131, 150, 151, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) /\ i e. ( 1 ... y ) ) -> ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
153	130, 152	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR )
154		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) )
155	154	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. T /\ sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) )
156	129, 153, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) = sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) )
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) )
158	128, 157	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) )
159	89, 158	mpteq2da 4743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) )
160	159	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) )
161		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> 1 e. ZZ )
162		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. NN )
163	162	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. ZZ )
164	163	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) e. ZZ )
165	162	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( y + 1 ) )
166	165	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> 1 <_ ( y + 1 ) )
167		elfz4 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( y + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
168	161, 95, 164, 166, 81, 167	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
169	45	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) e. A )
170	73, 168, 169	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) e. A )
171		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( f e. A <-> ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) )
172	171	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( ( ph /\ f e. A ) <-> ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) ) )
173		feq1 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) )
174	172, 173	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = ( G ` ( y + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
175	174, 56	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G ` ( y + 1 ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR ) )
176	175	anabsi7 860	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR )
177	73, 170, 176	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) : T --> RR )
178	177	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) e. RR )
179		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) )
180	179	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t e. T /\ ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) = ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) )
181	129, 178, 180	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) = ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ t e. T ) -> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) = ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) )
183	89, 182	mpteq2da 4743	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) )
184	183	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) )
185		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ph )
186		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A )
187	168	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
188	176	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( G ` ( y + 1 ) ) e. A ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) )
189	169, 188	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( G ` ( y + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) )
190	189, 169	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y + 1 ) e. ( 1 ... M ) ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) e. A )
191	185, 187, 190	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) e. A )
192		stoweidlem20.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
193		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) )
194		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) )
195	192, 193, 194	stoweidlem8 40225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A /\ ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) e. A )
196	185, 186, 191, 195	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( t e. T |-> ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ` t ) ) ) e. A )
197	184, 196	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) ` t ) + ( ( G ` ( y + 1 ) ) ` t ) ) ) e. A )
198	160, 197	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. NN /\ ( y + 1 ) <_ M ) /\ ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A )
199	70, 71, 72, 86, 198	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. NN /\ ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) /\ ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A )
200	199	exp31 630	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( ( ( ph /\ y <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... y ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) -> ( ( ph /\ ( y + 1 ) <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... ( y + 1 ) ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) )
201	21, 28, 35, 42, 69, 200	nnind 11038	. . . 4 |- ( n e. NN -> ( ( ph /\ n <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) )
202	14, 201	vtoclg 3266	. . 3 |- ( M e. NN -> ( M e. NN -> ( ( ph /\ M <_ M ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A ) ) )
203	2, 2, 5, 202	syl3c 66	. 2 |- ( ph -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 1 ... M ) ( ( G ` i ) ` t ) ) e. A )
204	1, 203	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> F e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  stoweidlem32  40249