Theorem pj1ghm 18116

Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	|- .+ = ( +g ` G )
pj1eu.s	|- .(+) = ( LSSum ` G )
pj1eu.o	|- .0. = ( 0g ` G )
pj1eu.z	|- Z = (Cntz ` G )
pj1eu.2	|- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
pj1eu.3	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
pj1eu.4	|- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )
pj1eu.5	|- ( ph -> T C_ ( Z ` U ) )
pj1f.p	|- P = ( proj1 ` G )

Assertion

Ref	Expression
pj1ghm	|- ( ph -> ( T P U ) e. ( ( G ↾s ( T .(+) U ) ) GrpHom G ) )

Proof of Theorem pj1ghm

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) = ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) )
2		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
3		ovex 6678	. . 3 |- ( T .(+) U ) e. _V
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( G ↾s ( T .(+) U ) ) = ( G ↾s ( T .(+) U ) )
5		pj1eu.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6	4, 5	ressplusg 15993	. . 3 |- ( ( T .(+) U ) e. _V -> .+ = ( +g ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) )
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 |- .+ = ( +g ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) )
8		pj1eu.2	. . . 4 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
9		pj1eu.3	. . . 4 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
10		pj1eu.5	. . . 4 |- ( ph -> T C_ ( Z ` U ) )
11		pj1eu.s	. . . . 5 |- .(+) = ( LSSum ` G )
12		pj1eu.z	. . . . 5 |- Z = (Cntz ` G )
13	11, 12	lsmsubg 18069	. . . 4 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) )
14	8, 9, 10, 13	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) )
15	4	subggrp 17597	. . 3 |- ( ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s ( T .(+) U ) ) e. Grp )
16	14, 15	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G ↾s ( T .(+) U ) ) e. Grp )
17		subgrcl 17599	. . 3 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
18	8, 17	syl 17	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
19		pj1eu.o	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
20		pj1eu.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )
21		pj1f.p	. . . . 5 |- P = ( proj1 ` G )
22	5, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21	pj1f 18110	. . . 4 |- ( ph -> ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T )
23	2	subgss 17595	. . . . 5 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) )
24	8, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> T C_ ( Base ` G ) )
25	22, 24	fssd 6057	. . 3 |- ( ph -> ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> ( Base ` G ) )
26	4	subgbas 17598	. . . . 5 |- ( ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) -> ( T .(+) U ) = ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) )
27	14, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( T .(+) U ) = ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) )
28	27	feq2d 6031	. . 3 |- ( ph -> ( ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> ( Base ` G ) <-> ( T P U ) : ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) --> ( Base ` G ) ) )
29	25, 28	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( T P U ) : ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) --> ( Base ` G ) )
30	27	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( T .(+) U ) <-> x e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) ) )
31	27	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( T .(+) U ) <-> y e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) ) )
32	30, 31	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) <-> ( x e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) ) ) )
33	32	biimpar 502	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) ) ) -> ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) )
34	5, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21	pj1id 18112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( T .(+) U ) ) -> x = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) )
35	34	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> x = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) )
36	5, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21	pj1id 18112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> y = ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) )
37	36	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> y = ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) )
38	35, 37	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) .+ ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
39	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> T e. (SubGrp ` G ) )
40		grpmnd 17429	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
41	39, 17, 40	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> G e. Mnd )
42	39, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
43		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> x e. ( T .(+) U ) )
44		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T /\ x e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( T P U ) ` x ) e. T )
45	22, 43, 44	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` x ) e. T )
46	42, 45	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` x ) e. ( Base ` G ) )
47		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> y e. ( T .(+) U ) )
48		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. T )
49	22, 47, 48	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. T )
50	42, 49	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. ( Base ` G ) )
51	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> U e. (SubGrp ` G ) )
52	2	subgss 17595	. . . . . . . . 9 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
54	5, 11, 19, 12, 8, 9, 20, 10, 21	pj2f 18111	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U P T ) : ( T .(+) U ) --> U )
55		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U P T ) : ( T .(+) U ) --> U /\ x e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( U P T ) ` x ) e. U )
56	54, 43, 55	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` x ) e. U )
57	53, 56	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` x ) e. ( Base ` G ) )
58		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U P T ) : ( T .(+) U ) --> U /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( U P T ) ` y ) e. U )
59	54, 47, 58	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` y ) e. U )
60	53, 59	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` y ) e. ( Base ` G ) )
61	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> T C_ ( Z ` U ) )
62	61, 49	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. ( Z ` U ) )
63	5, 12	cntzi 17762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T P U ) ` y ) e. ( Z ` U ) /\ ( ( U P T ) ` x ) e. U ) -> ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
64	62, 56, 63	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
65	2, 5, 41, 46, 50, 57, 60, 64	mnd4g 17307	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) .+ ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) .+ ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
66	38, 65	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) .+ ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
67	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( T i^i U ) = { .0. } )
68	5	subgcl 17604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) /\ x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> ( x .+ y ) e. ( T .(+) U ) )
69	68	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( ( T .(+) U ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) e. ( T .(+) U ) )
70	14, 69	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) e. ( T .(+) U ) )
71	5	subgcl 17604	. . . . . . 7 |- ( ( T e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( T P U ) ` x ) e. T /\ ( ( T P U ) ` y ) e. T ) -> ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) e. T )
72	39, 45, 49, 71	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) e. T )
73	5	subgcl 17604	. . . . . . 7 |- ( ( U e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( U P T ) ` x ) e. U /\ ( ( U P T ) ` y ) e. U ) -> ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) e. U )
74	51, 56, 59, 73	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) e. U )
75	5, 11, 19, 12, 39, 51, 67, 61, 21, 70, 72, 74	pj1eq 18113	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( x .+ y ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) .+ ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) <-> ( ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) /\ ( ( U P T ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) ) )
76	66, 75	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) /\ ( ( U P T ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
77	76	simpld 475	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
78	33, 77	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( G ↾s ( T .(+) U ) ) ) ) ) -> ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
79	1, 2, 7, 5, 16, 18, 29, 78	isghmd 17669	1 |- ( ph -> ( T P U ) e. ( ( G ↾s ( T .(+) U ) ) GrpHom G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   GrpHom cghm 17657  Cntzccntz 17748   LSSumclsm 18049   proj1cpj1 18050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-pj1 18052

This theorem is referenced by:  pj1ghm2  18117  dpjghm  18462  pj1lmhm  19100