Theorem sylow2blem2 18036

Description: Lemma for sylow2b 18038. Left multiplication in a subgroup H is a group action on the set of all left cosets of K. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2b.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2b.h	|- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.k	|- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow2b.r	|- .~ = ( G ~QG K )
sylow2b.m	|- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow2blem2	|- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, K, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z   x, .~ , y, z   ph, z   x, H, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem sylow2blem2

Dummy variables a b s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2b.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( G ↾s H ) = ( G ↾s H )
3	2	subggrp 17597	. . . 4 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s H ) e. Grp )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( G ↾s H ) e. Grp )
5		sylow2b.xf	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
6		pwfi 8261	. . . . 5 |- ( X e. Fin <-> ~P X e. Fin )
7	5, 6	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ~P X e. Fin )
8		sylow2b.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
9		sylow2b.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
10		sylow2b.r	. . . . . . 7 |- .~ = ( G ~QG K )
11	9, 10	eqger 17644	. . . . . 6 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er X )
13	12	qsss 7808	. . . 4 |- ( ph -> ( X /. .~ ) C_ ~P X )
14	7, 13	ssexd 4805	. . 3 |- ( ph -> ( X /. .~ ) e. _V )
15	4, 14	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) )
16		sylow2b.m	. . . . . . 7 |- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
17		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
18	17	mptex 6486	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
19	18	rnex 7100	. . . . . . 7 |- ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
20	16, 19	fnmpt2i 7239	. . . . . 6 |- .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) )
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( X /. .~ ) = ( X /. .~ )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = v -> ( u .x. [ s ] .~ ) = ( u .x. v ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = v -> ( ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) <-> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
25		sylow2b.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
26	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 18035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) = [ ( u .+ s ) ] .~ )
27		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ~QG K ) e. _V
28	10, 27	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- .~ e. _V
29		subgrcl 17599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Grp )
31	30	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> G e. Grp )
32	9	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H C_ X )
34	33	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> u e. X )
35	34	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> u e. X )
36		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> s e. X )
37	9, 25	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
39		ecelqsg 7802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( .~ e. _V /\ ( u .+ s ) e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
40	28, 38, 39	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
41	26, 40	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
42	41	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
43	22, 24, 42	ectocld 7814	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ v e. ( X /. .~ ) ) -> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
44	43	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
45	44	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
46		ffnov 6764	. . . . 5 |- ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> ( .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) /\ A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
48	2	subgbas 17598	. . . . . . 7 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
49	1, 48	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
50	49	xpeq1d 5138	. . . . 5 |- ( ph -> ( H X. ( X /. .~ ) ) = ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) )
51	50	feq2d 6031	. . . 4 |- ( ph -> ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) ) )
52	47, 51	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
53		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) )
54		id 22	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> [ s ] .~ = u )
55	53, 54	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ <-> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u ) )
56		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) )
57		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = u -> ( b .x. [ s ] .~ ) = ( b .x. u ) )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) )
59	56, 58	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
60	59	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
61	55, 60	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) <-> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
62		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ph )
63	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
65	64	subg0cl 17602	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. H )
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) e. H )
67		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> s e. X )
68	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 18035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 0g ` G ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
69	62, 66, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
70	2, 64	subg0 17600	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
71	63, 70	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) )
73	9, 25, 64	grplid 17452	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
74	30, 73	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
75	74	eceq1d 7783	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ = [ s ] .~ )
76	69, 72, 75	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ )
77	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
78	77, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> G e. Grp )
79	77, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H C_ X )
80		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. H )
81	79, 80	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. X )
82		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. H )
83	79, 82	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. X )
84	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> s e. X )
85	9, 25	grpass 17431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
86	78, 81, 83, 84, 85	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
87	86	eceq1d 7783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
88	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ph )
89	9, 25	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ s e. X ) -> ( b .+ s ) e. X )
90	78, 83, 84, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .+ s ) e. X )
91	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 18035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. H /\ ( b .+ s ) e. X ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
92	88, 80, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
93	87, 92	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
94	25	subgcl 17604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. (SubGrp ` G ) /\ a e. H /\ b e. H ) -> ( a .+ b ) e. H )
95	77, 80, 82, 94	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .+ b ) e. H )
96	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 18035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a .+ b ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
97	88, 95, 84, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
98	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 18035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. H /\ s e. X ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
99	88, 82, 84, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
101	93, 97, 100	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
102	101	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
103	63, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
104	2, 25	ressplusg 15993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
105	1, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
106	105	oveqdr 6674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( a .+ b ) = ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) )
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) )
108	107	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
109	103, 108	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
110	103, 109	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
111	102, 110	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
112	76, 111	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
113	22, 61, 112	ectocld 7814	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. ( X /. .~ ) ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
114	113	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
115	52, 114	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
116		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s H ) ) = ( Base ` ( G ↾s H ) )
117		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s H ) ) = ( +g ` ( G ↾s H ) )
118		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` ( G ↾s H ) ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) )
119	116, 117, 118	isga 17724	. 2 |- ( .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) <-> ( ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) /\ ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) ) )
120	15, 115, 119	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741   Fincfn 7955   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   ~_QG cqg 17590   GrpAct cga 17722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723

This theorem is referenced by:  sylow2blem3  18037