Theorem pgp0 18011

Description: The identity subgroup is a P-group for every prime P. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgp0.1	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
pgp0	|- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> P pGrp ( G ↾s { .0. } ) )

Proof of Theorem pgp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15388	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2	1	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> P e. NN )
3	2	nncnd 11036	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> P e. CC )
4	3	exp0d 13002	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
5		pgp0.1	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
6		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) e. _V
7	5, 6	eqeltri 2697	. . . . 5 |- .0. e. _V
8		hashsng 13159	. . . . 5 |- ( .0. e. _V -> ( # ` { .0. } ) = 1 )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 |- ( # ` { .0. } ) = 1
10	5	0subg 17619	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> { .0. } e. (SubGrp ` G ) )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( G ↾s { .0. } ) = ( G ↾s { .0. } )
13	12	subgbas 17598	. . . . . 6 |- ( { .0. } e. (SubGrp ` G ) -> { .0. } = ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> { .0. } = ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> ( # ` { .0. } ) = ( # ` ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) ) )
16	9, 15	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> 1 = ( # ` ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) ) )
17	4, 16	eqtr2d 2657	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> ( # ` ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) ) = ( P ^ 0 ) )
18	12	subggrp 17597	. . . 4 |- ( { .0. } e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s { .0. } ) e. Grp )
19	11, 18	syl 17	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> ( G ↾s { .0. } ) e. Grp )
20		simpr 477	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> P e. Prime )
21		0nn0 11307	. . . 4 |- 0 e. NN0
22	21	a1i 11	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> 0 e. NN0 )
23		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) = ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) )
24	23	pgpfi1 18010	. . 3 |- ( ( ( G ↾s { .0. } ) e. Grp /\ P e. Prime /\ 0 e. NN0 ) -> ( ( # ` ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) ) = ( P ^ 0 ) -> P pGrp ( G ↾s { .0. } ) ) )
25	19, 20, 22, 24	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> ( ( # ` ( Base ` ( G ↾s { .0. } ) ) ) = ( P ^ 0 ) -> P pGrp ( G ↾s { .0. } ) ) )
26	17, 25	mpd 15	1 |- ( ( G e. Grp /\ P e. Prime ) -> P pGrp ( G ↾s { .0. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   #chash 13117   Primecprime 15385   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   pGrp cpgp 17946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-od 17948  df-pgp 17950

This theorem is referenced by:  slwn0  18030