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Theorem swrdccat 13493

Description: The subword of a concatenation of two words as concatenation of subwords of the two concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
swrdccatin12.l

**Assertion**
Ref	Expression
swrdccat	Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr ++ substr

**Proof of Theorem swrdccat**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin12.l	. . . . 5
2	1	swrdccat3 13492	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr substr substr ++ substr
3	2	imp 445	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr substr substr substr ++ substr
4		lencl 13324	. . . . . 6 Word
5	4	adantr 481	. . . . 5 Word $/\$ Word
6	1	eqcomi 2631	. . . . . . 7
7	6	eleq1i 2692	. . . . . 6
8		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
9		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11	10	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr
13		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14	13	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr substr
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word Word
18		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
19		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
21		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
22	20, 21	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
23		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
25		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
27	22, 26	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
28	18, 27	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
29	17, 28	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
30		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
31	29, 30	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
33		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
34		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
35	33, 34	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
36		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
37		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
38	37	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
41		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
44	40, 41, 43	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
47	46	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
48	38, 47	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
50	35, 36, 49	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
56	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
58	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
59	55, 57, 58	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		lesub1 10522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	53, 63	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		swrdlend 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ substr
66	32, 64, 65	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
67	16, 66	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
68		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69	68	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr substr
71	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ Word
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word
73		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	24, 18, 25	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	72, 73, 76	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
78	54, 36	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		suble0 10542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
82	81	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		swrdlend 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ $/\$ substr
84	77, 82, 83	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
85	70, 84	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
86	67, 85	pm2.61ian 831	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
87	12, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr substr ++
88		swrdcl 13419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word substr Word
89		ccatrid 13370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr Word substr ++ substr
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word substr ++ substr
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word substr ++ substr
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr
94	87, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr substr
95		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
96	95	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	96	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr
99		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word $/\$ Word Word
100	99, 20, 18	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
101	100	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
102		swrdlend 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ $/\$ substr
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ substr
104	103	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
105	104	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
106	98, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr
107	56, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
108	107	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
110	109	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	112	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr
114	106, 113	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr ++ substr
115		swrdcl 13419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word substr Word
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word substr Word
117		ccatlid 13369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr Word ++ substr substr
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word ++ substr substr
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ substr substr
120	119	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ++ substr substr
121	114, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr substr
122	95	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	122	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr
125	33, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
126	125	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
128	127	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
129	128	con3dimp 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	131	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr substr
134	124, 133	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr substr ++ substr
135	94, 121, 134	2if2 4136	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ substr ++ substr substr substr substr ++ substr
136	135	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ Word $/\$ substr ++ substr substr substr substr ++ substr
137	136	com12 32	. . . . . . . . . 10 $/\$ Word $/\$ Word substr ++ substr substr substr substr ++ substr
138	137	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Word $/\$ Word substr ++ substr substr substr substr ++ substr
139	8, 138	sylbi 207	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word substr ++ substr substr substr substr ++ substr
140	139	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ Word $/\$ Word substr ++ substr substr substr substr ++ substr
141	140	com13 88	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ substr ++ substr substr substr substr ++ substr
142	7, 141	sylbi 207	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ substr ++ substr substr substr substr ++ substr
143	5, 142	mpcom 38	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ substr ++ substr substr substr substr ++ substr
144	143	imp 445	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr ++ substr substr substr substr ++ substr
145	3, 144	eqtr4d 2659	. 2 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr substr ++ substr
146	145	ex 450	1 Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr ++ substr

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

c0 3915

cif 4086

cop 4183 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn0 11292

cz 11377

cfz 12326

chash 13117 Word cword 13291 ++ cconcat 13293 substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-substr 13303

This theorem is referenced by: (None)

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