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Theorem swrdccat3blem 13495

Description: Lemma for swrdccat3b 13496. (Contributed by AV, 30-May-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
swrdccatin12.l

**Assertion**
Ref	Expression
swrdccat3blem	Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr substr ++ substr

**Proof of Theorem swrdccat3blem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 13324	. . . . . . . 8 Word
2		nn0le0eq0 11321	. . . . . . . . 9
3	2	biimpd 219	. . . . . . . 8
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 Word
5	4	adantl 482	. . . . . 6 Word $/\$ Word
6		hasheq0 13154	. . . . . . . . . . 11 Word
7	6	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 Word
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word
9	8	imp 445	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$
10		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
11		swrdccatin12.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12	11	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13	12	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
16		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
17	16	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
18	17	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
19		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
20	19	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
21	20	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
22		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
24	23	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
25	24	exp4b 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
27	18, 26	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
28	27	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29	28	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
30	29	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
31	30	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
32	15, 31	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	13, 33	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	10, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word
36	35	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$
37		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38		swrd00 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 substr
39		swrd00 13418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 substr
40	38, 39	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 substr substr
41		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
42	41	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
43	42	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 substr substr
45	41	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
46	45	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 substr substr
48	40, 44, 47	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 substr substr
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 substr substr
50		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52	51	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 substr substr
54		opeq1 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 substr substr
56	53, 55	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 substr substr substr substr
57	49, 50, 56	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr substr
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr substr
59	58	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word substr substr
60	37, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word substr substr
61	60	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ substr substr
62	36, 61	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ substr substr
63	62	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ substr substr
64		swrdcl 13419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word substr Word
65		ccatrid 13370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 substr Word substr ++ substr
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word substr ++ substr
67	13, 41	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
68	10, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
69		addid1 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70	69	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71	68, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
72	71	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word substr substr
74	66, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 Word substr ++ substr
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ substr ++ substr
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ substr ++ substr
77	63, 76	ifeqda 4121	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ substr substr ++ substr
78	77	ex 450	. . . . . . . . . 10 Word substr substr ++ substr
79	78	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr substr ++ substr
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
84		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
85		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . 15
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
87	84, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ substr substr
88		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 substr ++ substr ++
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ substr ++ substr ++
90	87, 89	ifeq12d 4106	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ substr substr ++ substr substr ++
91	80	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . 14
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 substr substr
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ substr substr
94	90, 93	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 $/\$ substr substr ++ substr substr substr ++ substr
95	83, 94	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 $/\$ substr substr ++ substr substr substr ++ substr
96	95	adantll 750	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr substr ++ substr substr substr ++ substr
97	79, 96	mpbird 247	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr substr ++ substr
98	9, 97	mpdan 702	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ substr substr ++ substr
99	98	ex 450	. . . . . 6 Word $/\$ Word substr substr ++ substr
100	5, 99	syld 47	. . . . 5 Word $/\$ Word substr substr ++ substr
101	100	com23 86	. . . 4 Word $/\$ Word substr substr ++ substr
102	101	imp 445	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ substr substr ++ substr
103	102	adantr 481	. 2 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr substr ++ substr
104	11	eleq1i 2692	. . . . . . . 8
105	104, 14	sylbir 225	. . . . . . 7
106	10, 105	syl 17	. . . . . 6 Word
107	1	nn0red 11352	. . . . . 6 Word
108		leaddle0 10543	. . . . . 6 $/\$
109	106, 107, 108	syl2an 494	. . . . 5 Word $/\$ Word
110		pm2.24 121	. . . . 5 substr substr ++ substr
111	109, 110	syl6bi 243	. . . 4 Word $/\$ Word substr substr ++ substr
112	111	adantr 481	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ substr substr ++ substr
113	112	imp 445	. 2 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr substr ++ substr
114	103, 113	pm2.61d 170	1 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr substr ++ substr

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

c0 3915

cif 4086

cop 4183 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn0 11292

cfz 12326

chash 13117 Word cword 13291 ++ cconcat 13293 substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-substr 13303

This theorem is referenced by: swrdccat3b 13496

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