Theorem swrd00 13418

Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd00	|- ( S substr <. X , X >. ) = (/)

Proof of Theorem swrd00

Dummy variables s b x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5146	. . . 4 |- ( <. S , <. X , X >. >. e. ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) ) <-> ( S e. _V /\ <. X , X >. e. ( ZZ X. ZZ ) ) )
2		opelxp 5146	. . . . 5 |- ( <. X , X >. e. ( ZZ X. ZZ ) <-> ( X e. ZZ /\ X e. ZZ ) )
3		swrdval 13417	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) )
4		fzo0 12492	. . . . . . . . . 10 |- ( X..^ X ) = (/)
5		0ss 3972	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ dom S
6	4, 5	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- ( X..^ X ) C_ dom S
7	6	iftruei 4093	. . . . . . . 8 |- if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) )
8		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ZZ -> X e. CC )
9	8	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. ZZ -> ( X - X ) = 0 )
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ZZ -> ( 0..^ ( X - X ) ) = ( 0..^ 0 ) )
11	10	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( 0..^ ( X - X ) ) = ( 0..^ 0 ) )
12		fzo0 12492	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
13	11, 12	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( 0..^ ( X - X ) ) = (/) )
14	13	mpteq1d 4738	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) )
15		mpt0 6021	. . . . . . . . 9 |- ( x e. (/) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = (/)
16	14, 15	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) = (/) )
17	7, 16	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> if ( ( X..^ X ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( X - X ) ) |-> ( S ` ( x + X ) ) ) , (/) ) = (/) )
18	3, 17	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( S e. _V /\ X e. ZZ /\ X e. ZZ ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
19	18	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( S e. _V /\ ( X e. ZZ /\ X e. ZZ ) ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
20	2, 19	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( S e. _V /\ <. X , X >. e. ( ZZ X. ZZ ) ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
21	1, 20	sylbi 207	. . 3 |- ( <. S , <. X , X >. >. e. ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) ) -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
22		df-substr 13303	. . . 4 |- substr = ( s e. _V , b e. ( ZZ X. ZZ ) |-> if ( ( ( 1st ` b )..^ ( 2nd ` b ) ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( x + ( 1st ` b ) ) ) ) , (/) ) )
23		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) e. _V
24	23	mptex 6486	. . . . 5 |- ( x e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( x + ( 1st ` b ) ) ) ) e. _V
25		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
26	24, 25	ifex 4156	. . . 4 |- if ( ( ( 1st ` b )..^ ( 2nd ` b ) ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( x + ( 1st ` b ) ) ) ) , (/) ) e. _V
27	22, 26	dmmpt2 7240	. . 3 |- dom substr = ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) )
28	21, 27	eleq2s 2719	. 2 |- ( <. S , <. X , X >. >. e. dom substr -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
29		df-ov 6653	. . 3 |- ( S substr <. X , X >. ) = ( substr ` <. S , <. X , X >. >. )
30		ndmfv 6218	. . 3 |- ( -. <. S , <. X , X >. >. e. dom substr -> ( substr ` <. S , <. X , X >. >. ) = (/) )
31	29, 30	syl5eq 2668	. 2 |- ( -. <. S , <. X , X >. >. e. dom substr -> ( S substr <. X , X >. ) = (/) )
32	28, 31	pm2.61i 176	1 |- ( S substr <. X , X >. ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  swrdccatin1  13483  swrdccat3blem  13495  cshw0  13540  pfx00  41384