Theorem swrdccatin12lem3 13490

Description: Lemma 3 for swrdccatin12 13491. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin12.l	|- L = ( # ` A )

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin12lem3	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		elfzo0 12508	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) )
3		swrdccatin12.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = ( # ` A )
4		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Word V -> ( # ` A ) e. NN0 )
5		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
6		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( K + M ) e. NN0 )
7	6	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
8	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( M e. NN0 -> ( K + M ) e. NN0 ) )
9	8	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
10	9	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( K + M ) e. NN0 ) )
11	10	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. NN0 )
12		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( L - M ) e. NN <-> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 < ( L - M ) ) )
13		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
14		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
15		posdif 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
16	13, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L <-> 0 < ( L - M ) ) )
17		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
18		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> 0 e. RR )
19		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> M e. RR )
21	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> L e. RR )
22		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
24		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
25	24	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
26		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( L e. NN <-> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
27	25, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( L e. NN0 /\ 0 < L ) -> L e. NN )
28	27	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( L e. NN0 -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < L -> L e. NN ) )
30	23, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> L e. NN ) )
31	30	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. NN0 ) -> ( 0 <_ M -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
32	31	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
33	17, 32	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( M e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> L e. NN ) ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> L e. NN ) )
35	16, 34	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( 0 < ( L - M ) -> L e. NN ) )
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 0 < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
38	12, 37	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( L - M ) e. NN -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> L e. NN ) )
40	39	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
41	40	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> L e. NN ) )
42	41	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> L e. NN )
43		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> K e. RR )
45	13	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> M e. RR )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> M e. RR )
47	14	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> L e. RR )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> L e. RR )
49	44, 46, 48	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) -> ( ( K + M ) < L <-> K < ( L - M ) ) )
50	49	exbiri 652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( K e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K < ( L - M ) -> ( K + M ) < L ) ) )
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> ( K < ( L - M ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) ) )
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( K e. NN0 /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
53	52	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K + M ) < L ) )
54	53	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) < L )
55	11, 42, 54	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) /\ ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) )
56	55	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
57	56	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
58	5, 57	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
59	58	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
60	59	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` A ) = L -> ( L e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
61		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( # ` A ) e. NN0 <-> L e. NN0 ) )
62		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( # ` A ) e. NN <-> L e. NN ) )
63		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( K + M ) < ( # ` A ) <-> ( K + M ) < L ) )
64	62, 63	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) )
65	64	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) <-> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) )
66	65	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) ) <-> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( K + M ) < L ) ) ) ) )
67	60, 61, 66	3imtr4d 283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) = L -> ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) ) ) )
68	67	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = ( # ` A ) -> ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) ) ) )
69	3, 4, 68	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) ) )
71	70	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) )
72	71	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN0 /\ ( L - M ) e. NN /\ K < ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) )
73	2, 72	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( L - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) ) )
75	74	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) )
76		elfzo0 12508	. . . . . 6 |- ( ( K + M ) e. ( 0..^ ( # ` A ) ) <-> ( ( K + M ) e. NN0 /\ ( # ` A ) e. NN /\ ( K + M ) < ( # ` A ) ) )
77	75, 76	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
78		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) )
79	1, 77, 78	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) )
80		ccatval1 13361	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
81	79, 80	syl 17	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( A ` ( K + M ) ) )
82	3	swrdccatin12lem2c 13488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( # ` ( A ++ B ) ) ) ) )
83	82	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( # ` ( A ++ B ) ) ) ) )
84		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
85		swrdfv 13424	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( # ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
86	83, 84, 85	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
87		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> A e. Word V )
88	87	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> A e. Word V )
89		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
90	89	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
91	3	eleq1i 2692	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 <-> ( # ` A ) e. NN0 )
92		elnn0uz 11725	. . . . . . . . 9 |- ( L e. NN0 <-> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
93		eluzfz2 12349	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> L e. ( 0 ... L ) )
94	92, 93	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... L ) )
95	3	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( # ` A ) = L
96	95	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... ( # ` A ) ) = ( 0 ... L )
97	94, 96	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( L e. NN0 -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
98	91, 97	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
99	4, 98	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
100	99	ad3antrrr 766	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) )
101		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( L - M ) ) )
102		swrdfv 13424	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` A ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
103	88, 90, 100, 101, 102	syl31anc 1329	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) = ( A ` ( K + M ) ) )
104	81, 86, 103	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) )
105	104	ex 450	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + ( # ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ` K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  swrdccatin12  13491  pfxccatin12  41425