Theorem swrdfv2 13446

Description: A symbol in an extracted subword, indexed using the word's indices. (Contributed by AV, 5-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdfv2	|- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Proof of Theorem swrdfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> S e. Word V )
2		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. NN0 )
3		eluznn0 11757	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. NN0 )
4		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> F <_ L )
5	4	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F <_ L )
6	2, 3, 5	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
7	6	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
8		elfz2nn0 12431	. . . . . 6 |- ( F e. ( 0 ... L ) <-> ( F e. NN0 /\ L e. NN0 /\ F <_ L ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> F e. ( 0 ... L ) )
10	3	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ ( # ` S ) ) )
11	10	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( L e. NN0 /\ L <_ ( # ` S ) ) )
12		lencl 13324	. . . . . . . 8 |- ( S e. Word V -> ( # ` S ) e. NN0 )
13	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( # ` S ) e. NN0 )
14		fznn0 12432	. . . . . . 7 |- ( ( # ` S ) e. NN0 -> ( L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ ( # ` S ) ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) <-> ( L e. NN0 /\ L <_ ( # ` S ) ) ) )
16	11, 15	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) )
17	1, 9, 16	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) )
18	17	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) )
19		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. NN0 -> F e. CC )
20		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. CC )
21		pncan3 10289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. CC /\ L e. CC ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
22	19, 20, 21	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( F + ( L - F ) ) = L )
23	22	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
24	23	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> L = ( F + ( L - F ) ) )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( F..^ L ) = ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
26	25	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( X e. ( F..^ L ) <-> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) ) )
27	26	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) )
28		eluzelz 11697	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` F ) -> L e. ZZ )
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> L e. ZZ )
30		nn0z 11400	. . . . . . . 8 |- ( F e. NN0 -> F e. ZZ )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. ZZ )
32	29, 31	zsubcld 11487	. . . . . 6 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
33	32	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
34	33	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( L - F ) e. ZZ )
35		fzosubel3 12528	. . . 4 |- ( ( X e. ( F..^ ( F + ( L - F ) ) ) /\ ( L - F ) e. ZZ ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
36	27, 34, 35	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
37		swrdfv 13424	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ F e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) /\ ( X - F ) e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
38	18, 36, 37	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) )
39		elfzoelz 12470	. . . . 5 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. ZZ )
40	39	zcnd 11483	. . . 4 |- ( X e. ( F..^ L ) -> X e. CC )
41	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) -> F e. CC )
42	41	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) -> F e. CC )
43		npcan 10290	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ F e. CC ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
44	40, 42, 43	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( X - F ) + F ) = X )
45	44	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( S ` ( ( X - F ) + F ) ) = ( S ` X ) )
46	38, 45	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( S e. Word V /\ ( F e. NN0 /\ L e. ( ZZ>= ` F ) ) /\ L <_ ( # ` S ) ) /\ X e. ( F..^ L ) ) -> ( ( S substr <. F , L >. ) ` ( X - F ) ) = ( S ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  swrdspsleq  13449