Theorem symg1bas 17816

Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S₁ consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	|- G = ( SymGrp ` A )
symg1bas.2	|- B = ( Base ` G )
symg1bas.0	|- A = { I }

Assertion

Ref	Expression
symg1bas	|- ( I e. V -> B = { { <. I , I >. } } )

Proof of Theorem symg1bas

Dummy variables f p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg1bas.1	. . 3 |- G = ( SymGrp ` A )
2		symg1bas.2	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3	1, 2	symgbas 17800	. 2 |- B = { f | f : A -1-1-onto-> A }
4		symg1bas.0	. . . . . 6 |- A = { I }
5		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( A = { I } -> p = p )
6		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = { I } -> A = { I } )
7	5, 6, 6	f1oeq123d 6133	. . . . . 6 |- ( A = { I } -> ( p : A -1-1-onto-> A <-> p : { I } -1-1-onto-> { I } ) )
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( p : A -1-1-onto-> A <-> p : { I } -1-1-onto-> { I } )
9		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( p : { I } -1-1-onto-> { I } -> p : { I } --> { I } )
10		fsng 6404	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( p : { I } --> { I } <-> p = { <. I , I >. } ) )
11	10	anidms 677	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( p : { I } --> { I } <-> p = { <. I , I >. } ) )
12	9, 11	syl5ib 234	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( p : { I } -1-1-onto-> { I } -> p = { <. I , I >. } ) )
13		f1osng 6177	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> { <. I , I >. } : { I } -1-1-onto-> { I } )
14	13	anidms 677	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> { <. I , I >. } : { I } -1-1-onto-> { I } )
15		f1oeq1 6127	. . . . . . 7 |- ( p = { <. I , I >. } -> ( p : { I } -1-1-onto-> { I } <-> { <. I , I >. } : { I } -1-1-onto-> { I } ) )
16	14, 15	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( p = { <. I , I >. } -> p : { I } -1-1-onto-> { I } ) )
17	12, 16	impbid 202	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( p : { I } -1-1-onto-> { I } <-> p = { <. I , I >. } ) )
18	8, 17	syl5bb 272	. . . 4 |- ( I e. V -> ( p : A -1-1-onto-> A <-> p = { <. I , I >. } ) )
19		vex 3203	. . . . 5 |- p e. _V
20		f1oeq1 6127	. . . . 5 |- ( f = p -> ( f : A -1-1-onto-> A <-> p : A -1-1-onto-> A ) )
21	19, 20	elab 3350	. . . 4 |- ( p e. { f | f : A -1-1-onto-> A } <-> p : A -1-1-onto-> A )
22		velsn 4193	. . . 4 |- ( p e. { { <. I , I >. } } <-> p = { <. I , I >. } )
23	18, 21, 22	3bitr4g 303	. . 3 |- ( I e. V -> ( p e. { f | f : A -1-1-onto-> A } <-> p e. { { <. I , I >. } } ) )
24	23	eqrdv 2620	. 2 |- ( I e. V -> { f | f : A -1-1-onto-> A } = { { <. I , I >. } } )
25	3, 24	syl5eq 2668	1 |- ( I e. V -> B = { { <. I , I >. } } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   {csn 4177   <.cop 4183   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symg2bas  17818  psgnsn  17940  m1detdiag  20403