Theorem symgplusg 17809

Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgplusg.1	|- G = ( SymGrp ` A )
symgplusg.2	|- B = ( Base ` G )
symgplusg.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
symgplusg	|- .+ = ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) )

Distinct variable groups:   f, g, A   B, f, g

Allowed substitution hints:   .+ ( f, g)   G( f, g)

Proof of Theorem symgplusg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgplusg.1	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` A )
2		symgplusg.2	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
3	1, 2	symgbas 17800	. . . . 5 |- B = { x | x : A -1-1-onto-> A }
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) )
6	1, 3, 4, 5	symgval 17799	. . . 4 |- ( A e. _V -> G = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) >. } )
7	6	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A e. _V -> ( +g ` G ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) >. } ) )
8		symgplusg.3	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
9		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
10	2, 9	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
11	10, 10	mpt2ex 7247	. . . 4 |- ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) e. _V
12		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) >. }
13	12	topgrpplusg 16044	. . . 4 |- ( ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) e. _V -> ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) >. } ) )
14	11, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) = ( +g ` { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) >. } )
15	7, 8, 14	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( A e. _V -> .+ = ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) )
16		fvprc 6185	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( SymGrp ` A ) = (/) )
17	1, 16	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> G = (/) )
18	17	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( +g ` G ) = ( +g ` (/) ) )
19		plusgid 15977	. . . . 5 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
20	19	str0 15911	. . . 4 |- (/) = ( +g ` (/) )
21	18, 8, 20	3eqtr4g 2681	. . 3 |- ( -. A e. _V -> .+ = (/) )
22		vex 3203	. . . . . . 7 |- f e. _V
23		vex 3203	. . . . . . 7 |- g e. _V
24	22, 23	coex 7118	. . . . . 6 |- ( f o. g ) e. _V
25	4, 24	fnmpt2i 7239	. . . . 5 |- ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) Fn ( B X. B )
26	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` G ) = ( Base ` (/) ) )
27		base0 15912	. . . . . . . . 9 |- (/) = ( Base ` (/) )
28	26, 2, 27	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. _V -> B = (/) )
29	28	xpeq2d 5139	. . . . . . 7 |- ( -. A e. _V -> ( B X. B ) = ( B X. (/) ) )
30		xp0 5552	. . . . . . 7 |- ( B X. (/) ) = (/)
31	29, 30	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( -. A e. _V -> ( B X. B ) = (/) )
32	31	fneq2d 5982	. . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) Fn ( B X. B ) <-> ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) Fn (/) ) )
33	25, 32	mpbii 223	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) Fn (/) )
34		fn0 6011	. . . 4 |- ( ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) Fn (/) <-> ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) = (/) )
35	33, 34	sylib 208	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) = (/) )
36	21, 35	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. A e. _V -> .+ = ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) )
37	15, 36	pm2.61i 176	1 |- .+ = ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {ctp 4181   <.cop 4183   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  TopSetcts 15947   Xt_cpt 16099   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  symgov  17810  symgtset  17819  pgrpsubgsymg  17828  symgtgp  21905