Theorem symgtgp 21905

Description: The symmetric group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
symgtgp.g	|- G = ( SymGrp ` A )

Assertion

Ref	Expression
symgtgp	|- ( A e. V -> G e. TopGrp )

Proof of Theorem symgtgp

Dummy variables t f u v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgtgp.g	. . 3 |- G = ( SymGrp ` A )
2	1	symggrp 17820	. 2 |- ( A e. V -> G e. Grp )
3		grpmnd 17429	. . . 4 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> G e. Mnd )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6	1, 5	symgtopn 17825	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) = ( TopOpen ` G ) )
7		distopon 20801	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) )
9	8	pttoponconst 21400	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ ~P A e. (TopOn ` A ) ) -> ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) e. (TopOn ` ( A ^m A ) ) )
10	7, 9	mpdan 702	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) e. (TopOn ` ( A ^m A ) ) )
11	1, 5	elsymgbas 17802	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( x e. ( Base ` G ) <-> x : A -1-1-onto-> A ) )
12		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( x : A -1-1-onto-> A -> x : A --> A )
13		elmapg 7870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ A e. V ) -> ( x e. ( A ^m A ) <-> x : A --> A ) )
14	13	anidms 677	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( x e. ( A ^m A ) <-> x : A --> A ) )
15	12, 14	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( x : A -1-1-onto-> A -> x e. ( A ^m A ) ) )
16	11, 15	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( x e. ( Base ` G ) -> x e. ( A ^m A ) ) )
17	16	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( Base ` G ) C_ ( A ^m A ) )
18		resttopon 20965	. . . . . 6 |- ( ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) e. (TopOn ` ( A ^m A ) ) /\ ( Base ` G ) C_ ( A ^m A ) ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
19	10, 17, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
20	6, 19	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( A e. V -> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` G ) = ( TopOpen ` G )
22	5, 21	istps 20738	. . . 4 |- ( G e. TopSp <-> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
23	20, 22	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. V -> G e. TopSp )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
25	1, 5, 24	symgplusg 17809	. . . . . . 7 |- ( +g ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x o. y ) )
26		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) = ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) )
27		distop 20799	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P A ^ko ~P A ) = ( ~P A ^ko ~P A )
29	28	xkotopon 21403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P A e. Top /\ ~P A e. Top ) -> ( ~P A ^ko ~P A ) e. (TopOn ` ( ~P A Cn ~P A ) ) )
30	27, 27, 29	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( ~P A ^ko ~P A ) e. (TopOn ` ( ~P A Cn ~P A ) ) )
31		cndis 21095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ ~P A e. (TopOn ` A ) ) -> ( ~P A Cn ~P A ) = ( A ^m A ) )
32	7, 31	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( ~P A Cn ~P A ) = ( A ^m A ) )
33	17, 32	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( Base ` G ) C_ ( ~P A Cn ~P A ) )
34		disllycmp 21301	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ~P A e. Locally Comp )
35		llynlly 21280	. . . . . . . . . 10 |- ( ~P A e. Locally Comp -> ~P A e. 𝑛Locally Comp )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ~P A e. 𝑛Locally Comp )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P A Cn ~P A ) , y e. ( ~P A Cn ~P A ) |-> ( x o. y ) ) = ( x e. ( ~P A Cn ~P A ) , y e. ( ~P A Cn ~P A ) |-> ( x o. y ) )
38	37	xkococn 21463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P A e. Top /\ ~P A e. 𝑛Locally Comp /\ ~P A e. Top ) -> ( x e. ( ~P A Cn ~P A ) , y e. ( ~P A Cn ~P A ) |-> ( x o. y ) ) e. ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) tX ( ~P A ^ko ~P A ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) )
39	27, 36, 27, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( x e. ( ~P A Cn ~P A ) , y e. ( ~P A Cn ~P A ) |-> ( x o. y ) ) e. ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) tX ( ~P A ^ko ~P A ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) )
40	26, 30, 33, 26, 30, 33, 39	cnmpt2res 21480	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( x e. ( Base ` G ) , y e. ( Base ` G ) |-> ( x o. y ) ) e. ( ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) tX ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) )
41	25, 40	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( +g ` G ) e. ( ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) tX ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) )
42		xkopt 21458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ~P A e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) )
43	27, 42	mpancom 703	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( ~P A ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) = ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) )
45	44, 6	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) = ( TopOpen ` G ) )
46	45, 45	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) tX ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) = ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) )
47	46	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) tX ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) = ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) )
48	41, 47	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) )
49		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
50		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
51	49, 50	coex 7118	. . . . . . . . . . 11 |- ( x o. y ) e. _V
52	25, 51	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) Fn ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
54	5, 24, 53	plusfeq 17249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( +g ` G ) Fn ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) -> ( +f ` G ) = ( +g ` G ) )
55	52, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( +f ` G ) = ( +g ` G )
56	55	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +f ` G )
57	5, 56	grpplusf 17434	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> ( +g ` G ) : ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) --> ( Base ` G ) )
58		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( +g ` G ) : ( ( Base ` G ) X. ( Base ` G ) ) --> ( Base ` G ) -> ran ( +g ` G ) C_ ( Base ` G ) )
59	2, 57, 58	3syl 18	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ran ( +g ` G ) C_ ( Base ` G ) )
60		cnrest2 21090	. . . . . 6 |- ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) e. (TopOn ` ( ~P A Cn ~P A ) ) /\ ran ( +g ` G ) C_ ( Base ` G ) /\ ( Base ` G ) C_ ( ~P A Cn ~P A ) ) -> ( ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) <-> ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) ) )
61	30, 59, 33, 60	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) <-> ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) ) )
62	48, 61	mpbid 222	. . . 4 |- ( A e. V -> ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) )
63	45	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) = ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( TopOpen ` G ) ) )
64	62, 63	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( A e. V -> ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( TopOpen ` G ) ) )
65	56, 21	istmd 21878	. . 3 |- ( G e. TopMnd <-> ( G e. Mnd /\ G e. TopSp /\ ( +g ` G ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) tX ( TopOpen ` G ) ) Cn ( TopOpen ` G ) ) ) )
66	4, 23, 64, 65	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( A e. V -> G e. TopMnd )
67		id 22	. . . . . 6 |- ( A e. V -> A e. V )
68		fconst6g 6094	. . . . . . 7 |- ( ~P A e. Top -> ( A X. { ~P A } ) : A --> Top )
69	27, 68	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( A X. { ~P A } ) : A --> Top )
70	11	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ x e. ( Base ` G ) ) -> x : A -1-1-onto-> A )
71		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x : A -1-1-onto-> A -> `' x : A -1-1-onto-> A )
72		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' x : A -1-1-onto-> A -> `' x : A --> A )
73	70, 71, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ x e. ( Base ` G ) ) -> `' x : A --> A )
74	73	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ x e. ( Base ` G ) ) /\ y e. A ) -> ( `' x ` y ) e. A )
75	74	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( `' x ` y ) e. A )
76		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) )
77	75, 76	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) : ( Base ` G ) --> A )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) : ( Base ` G ) --> A )
79		cnveq 5296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = f -> `' x = `' f )
80	79	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = f -> ( `' x ` y ) = ( `' f ` y ) )
81		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' f ` y ) e. _V
82	80, 76, 81	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( Base ` G ) -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ` f ) = ( `' f ` y ) )
83	82	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ t e. ~P A ) -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ` f ) = ( `' f ` y ) )
84	83	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ t e. ~P A ) -> ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ` f ) e. t <-> ( `' f ` y ) e. t ) )
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) = ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) )
86	85	mptiniseg 5629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> ( `' ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) " { y } ) = { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } )
87	50, 86	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) " { y } ) = { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y }
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) = ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) )
89	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) e. (TopOn ` ( A ^m A ) ) )
90	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( Base ` G ) C_ ( A ^m A ) )
91		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) e. (TopOn ` ( A ^m A ) ) -> ( A ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) )
92		mpteq1 4737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) -> ( u e. ( A ^m A ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) = ( u e. U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) )
93	89, 91, 92	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( u e. ( A ^m A ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) = ( u e. U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) )
94		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> A e. V )
95	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( A X. { ~P A } ) : A --> Top )
96	1, 5	elsymgbas 17802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A e. V -> ( f e. ( Base ` G ) <-> f : A -1-1-onto-> A ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> ( f e. ( Base ` G ) <-> f : A -1-1-onto-> A ) )
98	97	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> f : A -1-1-onto-> A )
99		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f : A -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> A )
100		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( `' f : A -1-1-onto-> A -> `' f : A --> A )
101	98, 99, 100	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> `' f : A --> A )
102		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> y e. A )
103	101, 102	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( `' f ` y ) e. A )
104		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) )
105	104, 8	ptpjcn 21414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. V /\ ( A X. { ~P A } ) : A --> Top /\ ( `' f ` y ) e. A ) -> ( u e. U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) e. ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) Cn ( ( A X. { ~P A } ) ` ( `' f ` y ) ) ) )
106	94, 95, 103, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( u e. U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) e. ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) Cn ( ( A X. { ~P A } ) ` ( `' f ` y ) ) ) )
107	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ~P A e. Top )
108		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ~P A e. Top /\ ( `' f ` y ) e. A ) -> ( ( A X. { ~P A } ) ` ( `' f ` y ) ) = ~P A )
109	107, 103, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( ( A X. { ~P A } ) ` ( `' f ` y ) ) = ~P A )
110	109	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) Cn ( ( A X. { ~P A } ) ` ( `' f ` y ) ) ) = ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) Cn ~P A ) )
111	106, 110	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( u e. U. ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) e. ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) Cn ~P A ) )
112	93, 111	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( u e. ( A ^m A ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) e. ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) Cn ~P A ) )
113	88, 89, 90, 112	cnmpt1res 21479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) e. ( ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) Cn ~P A ) )
114	6	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. V -> ( ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) Cn ~P A ) = ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) )
115	114	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ↾t ( Base ` G ) ) Cn ~P A ) = ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) )
116	113, 115	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) )
117		snelpwi 4912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
118	117	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> { y } e. ~P A )
119		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) /\ { y } e. ~P A ) -> ( `' ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) " { y } ) e. ( TopOpen ` G ) )
120	116, 118, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( `' ( u e. ( Base ` G ) |-> ( u ` ( `' f ` y ) ) ) " { y } ) e. ( TopOpen ` G ) )
121	87, 120	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } e. ( TopOpen ` G ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } e. ( TopOpen ` G ) )
123		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> f e. ( Base ` G ) )
124	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> f : A -1-1-onto-> A )
125		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> y e. A )
126		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : A -1-1-onto-> A /\ y e. A ) -> ( f ` ( `' f ` y ) ) = y )
127	124, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> ( f ` ( `' f ` y ) ) = y )
128		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = f -> ( u ` ( `' f ` y ) ) = ( f ` ( `' f ` y ) ) )
129	128	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = f -> ( ( u ` ( `' f ` y ) ) = y <-> ( f ` ( `' f ` y ) ) = y ) )
130	129	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } <-> ( f e. ( Base ` G ) /\ ( f ` ( `' f ` y ) ) = y ) )
131	123, 127, 130	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> f e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } )
132		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ ( Base ` G )
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ ( Base ` G ) )
134	11	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) <-> x : A -1-1-onto-> A ) )
135	134	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> x : A -1-1-onto-> A )
136	103	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( `' f ` y ) e. A )
137		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x : A -1-1-onto-> A /\ ( `' f ` y ) e. A ) -> ( ( x ` ( `' f ` y ) ) = y -> ( `' x ` y ) = ( `' f ` y ) ) )
138	135, 136, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x ` ( `' f ` y ) ) = y -> ( `' x ` y ) = ( `' f ` y ) ) )
139		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( `' f ` y ) e. t )
140		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( `' x ` y ) = ( `' f ` y ) -> ( ( `' x ` y ) e. t <-> ( `' f ` y ) e. t ) )
141	139, 140	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( `' x ` y ) = ( `' f ` y ) -> ( `' x ` y ) e. t ) )
142	138, 141	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x ` ( `' f ` y ) ) = y -> ( `' x ` y ) e. t ) )
143	142	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> A. x e. ( Base ` G ) ( ( x ` ( `' f ` y ) ) = y -> ( `' x ` y ) e. t ) )
144		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u = x -> ( u ` ( `' f ` y ) ) = ( x ` ( `' f ` y ) ) )
145	144	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u = x -> ( ( u ` ( `' f ` y ) ) = y <-> ( x ` ( `' f ` y ) ) = y ) )
146	145	ralrab 3368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ( `' x ` y ) e. t <-> A. x e. ( Base ` G ) ( ( x ` ( `' f ` y ) ) = y -> ( `' x ` y ) e. t ) )
147	143, 146	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> A. x e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ( `' x ` y ) e. t )
148		ssrab 3680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ { x e. ( Base ` G ) | ( `' x ` y ) e. t } <-> ( { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ ( Base ` G ) /\ A. x e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ( `' x ` y ) e. t ) )
149	133, 147, 148	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ { x e. ( Base ` G ) | ( `' x ` y ) e. t } )
150	76	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " t ) = { x e. ( Base ` G ) | ( `' x ` y ) e. t }
151	149, 150	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ ( `' ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " t ) )
152		funmpt 5926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Fun ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) )
153		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' x ` y ) e. _V
154	153, 76	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) = ( Base ` G )
155	133, 154	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ dom ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) )
156		funimass3 6333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) /\ { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ dom ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ) -> ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) C_ t <-> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ ( `' ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " t ) ) )
157	152, 155, 156	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) C_ t <-> { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } C_ ( `' ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " t ) ) )
158	151, 157	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) C_ t )
159		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } -> ( f e. v <-> f e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) )
160		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) = ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) )
161	160	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } -> ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t <-> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) C_ t ) )
162	159, 161	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } -> ( ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) <-> ( f e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) C_ t ) ) )
163	162	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } e. ( TopOpen ` G ) /\ ( f e. { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " { u e. ( Base ` G ) | ( u ` ( `' f ` y ) ) = y } ) C_ t ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` G ) ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) )
164	122, 131, 158, 163	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ ( t e. ~P A /\ ( `' f ` y ) e. t ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` G ) ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) )
165	164	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ t e. ~P A ) -> ( ( `' f ` y ) e. t -> E. v e. ( TopOpen ` G ) ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) ) )
166	84, 165	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) /\ t e. ~P A ) -> ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ` f ) e. t -> E. v e. ( TopOpen ` G ) ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) ) )
167	166	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> A. t e. ~P A ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ` f ) e. t -> E. v e. ( TopOpen ` G ) ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) ) )
168	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) )
169	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ~P A e. (TopOn ` A ) )
170		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> f e. ( Base ` G ) )
171		iscnp 21041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) /\ ~P A e. (TopOn ` A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) CnP ~P A ) ` f ) <-> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) : ( Base ` G ) --> A /\ A. t e. ~P A ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ` f ) e. t -> E. v e. ( TopOpen ` G ) ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) ) ) ) )
172	168, 169, 170, 171	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) CnP ~P A ) ` f ) <-> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) : ( Base ` G ) --> A /\ A. t e. ~P A ( ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) ` f ) e. t -> E. v e. ( TopOpen ` G ) ( f e. v /\ ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) " v ) C_ t ) ) ) ) )
173	78, 167, 172	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ y e. A ) /\ f e. ( Base ` G ) ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) CnP ~P A ) ` f ) )
174	173	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> A. f e. ( Base ` G ) ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) CnP ~P A ) ` f ) )
175		cncnp 21084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( TopOpen ` G ) e. (TopOn ` ( Base ` G ) ) /\ ~P A e. (TopOn ` A ) ) -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) <-> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) : ( Base ` G ) --> A /\ A. f e. ( Base ` G ) ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) CnP ~P A ) ` f ) ) ) )
176	20, 7, 175	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) <-> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) : ( Base ` G ) --> A /\ A. f e. ( Base ` G ) ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) CnP ~P A ) ` f ) ) ) )
177	176	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) <-> ( ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) : ( Base ` G ) --> A /\ A. f e. ( Base ` G ) ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( ( TopOpen ` G ) CnP ~P A ) ` f ) ) ) )
178	77, 174, 177	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) )
179		fvconst2g 6467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P A e. Top /\ y e. A ) -> ( ( A X. { ~P A } ) ` y ) = ~P A )
180	27, 179	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> ( ( A X. { ~P A } ) ` y ) = ~P A )
181	180	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ( A X. { ~P A } ) ` y ) ) = ( ( TopOpen ` G ) Cn ~P A ) )
182	178, 181	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ y e. A ) -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( `' x ` y ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ( A X. { ~P A } ) ` y ) ) )
183	8, 20, 67, 69, 182	ptcn 21430	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( y e. A |-> ( `' x ` y ) ) ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ) )
184		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
185	5, 184	grpinvf 17466	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : ( Base ` G ) --> ( Base ` G ) )
186	2, 185	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( invg ` G ) : ( Base ` G ) --> ( Base ` G ) )
187	186	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( invg ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` x ) ) )
188	1, 5, 184	symginv 17822	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( Base ` G ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = `' x )
189	188	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = `' x )
190	73	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ x e. ( Base ` G ) ) -> `' x = ( y e. A |-> ( `' x ` y ) ) )
191	189, 190	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( ( invg ` G ) ` x ) = ( y e. A |-> ( `' x ` y ) ) )
192	191	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( x e. ( Base ` G ) |-> ( ( invg ` G ) ` x ) ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( y e. A |-> ( `' x ` y ) ) ) )
193	187, 192	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( invg ` G ) = ( x e. ( Base ` G ) |-> ( y e. A |-> ( `' x ` y ) ) ) )
194	43	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) = ( ( TopOpen ` G ) Cn ( Xt_ ` ( A X. { ~P A } ) ) ) )
195	183, 193, 194	3eltr4d 2716	. . . 4 |- ( A e. V -> ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) )
196		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( invg ` G ) : ( Base ` G ) --> ( Base ` G ) -> ran ( invg ` G ) C_ ( Base ` G ) )
197	2, 185, 196	3syl 18	. . . . 5 |- ( A e. V -> ran ( invg ` G ) C_ ( Base ` G ) )
198		cnrest2 21090	. . . . 5 |- ( ( ( ~P A ^ko ~P A ) e. (TopOn ` ( ~P A Cn ~P A ) ) /\ ran ( invg ` G ) C_ ( Base ` G ) /\ ( Base ` G ) C_ ( ~P A Cn ~P A ) ) -> ( ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) <-> ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) ) )
199	30, 197, 33, 198	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ~P A ^ko ~P A ) ) <-> ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) ) )
200	195, 199	mpbid 222	. . 3 |- ( A e. V -> ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) )
201	45	oveq2d 6666	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( TopOpen ` G ) Cn ( ( ~P A ^ko ~P A ) ↾t ( Base ` G ) ) ) = ( ( TopOpen ` G ) Cn ( TopOpen ` G ) ) )
202	200, 201	eleqtrd 2703	. 2 |- ( A e. V -> ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( TopOpen ` G ) ) )
203	21, 184	istgp 21881	. 2 |- ( G e. TopGrp <-> ( G e. Grp /\ G e. TopMnd /\ ( invg ` G ) e. ( ( TopOpen ` G ) Cn ( TopOpen ` G ) ) ) )
204	2, 66, 202, 203	syl3anbrc 1246	1 |- ( A e. V -> G e. TopGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   Xt_cpt 16099   +fcplusf 17239   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   SymGrpcsymg 17797   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   Compccmp 21189  Locally clly 21267  𝑛Locally cnlly 21268   tX ctx 21363   ^ko cxko 21364  TopMndctmd 21874   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-symg 17798  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-xko 21366  df-tmd 21876  df-tgp 21877

This theorem is referenced by: (None)