Theorem tglowdim2ln 25546

Description: There is always one point outside of any line. Theorem 6.25 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	|- P = ( Base ` G )
tglineintmo.i	|- I = (Itv ` G )
tglineintmo.l	|- L = (LineG ` G )
tglineintmo.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tglowdim2l.1	|- ( ph -> GDimTarskiG≥ 2 )
tglowdim2ln.a	|- ( ph -> A e. P )
tglowdim2ln.b	|- ( ph -> B e. P )
tglowdim2ln.1	|- ( ph -> A =/= B )

Assertion

Ref	Expression
tglowdim2ln	|- ( ph -> E. c e. P -. c e. ( A L B ) )

Distinct variable groups:   G, c   I, c   P, c   ph, c   A, c   B, c   L, c

Proof of Theorem tglowdim2ln

Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		tglineintmo.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
3		tglineintmo.l	. . . . 5 |- L = (LineG ` G )
4		tglineintmo.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5		tglowdim2l.1	. . . . 5 |- ( ph -> GDimTarskiG≥ 2 )
6	1, 2, 3, 4, 5	tglowdim2l 25545	. . . 4 |- ( ph -> E. a e. P E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) -> E. a e. P E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
8		simplr3 1105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> z e. P )
9		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> A. c e. P c e. ( A L B ) )
10		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = z -> ( c e. ( A L B ) <-> z e. ( A L B ) ) )
11	10	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. P /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) -> z e. ( A L B ) )
12	8, 9, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> z e. ( A L B ) )
13	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> G e. TarskiG )
14		simplr1 1103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> a e. P )
15		simplr2 1104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> b e. P )
16		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> -. a = b )
17	16	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> a =/= b )
18		tglowdim2ln.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. P )
19	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> A e. P )
20		tglowdim2ln.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. P )
21	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> B e. P )
22		tglowdim2ln.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A =/= B )
23	22	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> A =/= B )
24	1, 2, 3, 13, 19, 21, 23	tgelrnln 25525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> ( A L B ) e. ran L )
25		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = a -> ( c e. ( A L B ) <-> a e. ( A L B ) ) )
26	25	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. P /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) -> a e. ( A L B ) )
27	14, 9, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> a e. ( A L B ) )
28		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = b -> ( c e. ( A L B ) <-> b e. ( A L B ) ) )
29	28	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. P /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) -> b e. ( A L B ) )
30	15, 9, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> b e. ( A L B ) )
31	1, 2, 3, 13, 14, 15, 17, 17, 24, 27, 30	tglinethru 25531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> ( A L B ) = ( a L b ) )
32	12, 31	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) /\ -. a = b ) -> z e. ( a L b ) )
33	32	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) -> ( -. a = b -> z e. ( a L b ) ) )
34	33	orrd 393	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) -> ( a = b \/ z e. ( a L b ) ) )
35	34	orcomd 403	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) /\ ( a e. P /\ b e. P /\ z e. P ) ) -> ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
36	35	ralrimivvva 2972	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) -> A. a e. P A. b e. P A. z e. P ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
37		dfral2 2994	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. P ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) <-> -. E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
38	37	ralbii 2980	. . . . . . 7 |- ( A. b e. P A. z e. P ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) <-> A. b e. P -. E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
39		ralnex 2992	. . . . . . 7 |- ( A. b e. P -. E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) <-> -. E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
40	38, 39	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. b e. P A. z e. P ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) <-> -. E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
41	40	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. a e. P A. b e. P A. z e. P ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) <-> A. a e. P -. E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
42		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. a e. P -. E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) <-> -. E. a e. P E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
43	41, 42	bitri 264	. . . 4 |- ( A. a e. P A. b e. P A. z e. P ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) <-> -. E. a e. P E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
44	36, 43	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ A. c e. P c e. ( A L B ) ) -> -. E. a e. P E. b e. P E. z e. P -. ( z e. ( a L b ) \/ a = b ) )
45	7, 44	pm2.65da 600	. 2 |- ( ph -> -. A. c e. P c e. ( A L B ) )
46		rexnal 2995	. 2 |- ( E. c e. P -. c e. ( A L B ) <-> -. A. c e. P c e. ( A L B ) )
47	45, 46	sylibr 224	1 |- ( ph -> E. c e. P -. c e. ( A L B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2c2 11070   Basecbs 15857  TarskiGcstrkg 25329  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25333  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkgld 25351  df-trkg 25352  df-cgrg 25406

This theorem is referenced by:  colperpex  25625  cgrg3col4  25734