Theorem unitss 18660

Description: The set of units is contained in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitcl.1	|- B = ( Base ` R )
unitcl.2	|- U = (Unit ` R )

Assertion

Ref	Expression
unitss	|- U C_ B

Proof of Theorem unitss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitcl.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2		unitcl.2	. . 3 |- U = (Unit ` R )
3	1, 2	unitcl 18659	. 2 |- ( x e. U -> x e. B )
4	3	ssriv 3607	1 |- U C_ B

Syntax hints:   = wceq 1483   C_ wss 3574   ` cfv 5888   Basecbs 15857  Unitcui 18639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-dvdsr 18641  df-unit 18642

This theorem is referenced by:  unitgrpbas  18666  unitgrpid  18669  unitsubm  18670  invrpropd  18698  issubdrg  18805  fidomndrng  19307  znunithash  19913  dvrcn  21987  nmdvr  22474  nrginvrcnlem  22495  nrginvrcn  22496  dchrelbasd  24964  dchrinvcl  24978  dchrghm  24981  dchr1  24982  dchreq  24983  dchrresb  24984  dchrabs  24985  dchrinv  24986  dchrptlem1  24989  dchrptlem2  24990  dchrpt  24992  dchrsum2  24993  dchrsum  24994  sum2dchr  24999  lgsdchr  25080  rpvmasum2  25201  dvrdir  29790  rdivmuldivd  29791  dvrcan5  29793  elrhmunit  29820  rhmunitinv  29822  idomodle  37774