MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem fidomndrng 19307
Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b |- B = ( Base ` R )
Assertion
Ref Expression
fidomndrng |- ( B e. Fin -> ( R e. Domn <-> R e. DivRing ) )
Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 19296 . . . . 5 |- ( R e. Domn -> R e. Ring )
21adantl 482 . . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> R e. Ring )
3 domnnzr 19295 . . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Domn -> R e. NzRing )
43adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> R e. NzRing )
5 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
6 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
75, 6nzrnz 19260 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. NzRing -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
84, 7syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
98neneqd 2799 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
10 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- (Unit ` R ) = (Unit ` R )
1110, 6, 50unit 18680 . . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> ( ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) )
139, 12mtbird 315 . . . . . . 7 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> -. ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
14 disjsn 4246 . . . . . . 7 |- ( ( (Unit ` R ) i^i { ( 0g ` R ) } ) = (/) <-> -. ( 0g ` R ) e. (Unit ` R ) )
1513, 14sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> ( (Unit ` R ) i^i { ( 0g ` R ) } ) = (/) )
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
1716, 10unitss 18660 . . . . . . 7 |- (Unit ` R ) C_ B
18 reldisj 4020 . . . . . . 7 |- ( (Unit ` R ) C_ B -> ( ( (Unit ` R ) i^i { ( 0g ` R ) } ) = (/) <-> (Unit ` R ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( ( (Unit ` R ) i^i { ( 0g ` R ) } ) = (/) <-> (Unit ` R ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
2015, 19sylib 208 . . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> (Unit ` R ) C_ ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
21 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( ||r ` R ) = ( ||r ` R )
22 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
23 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) /\ x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> R e. Domn )
24 simpll 790 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) /\ x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> B e. Fin )
25 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) /\ x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
26 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( y e. B |-> ( y ( .r ` R ) x ) ) = ( y e. B |-> ( y ( .r ` R ) x ) )
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 19306 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) /\ x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) )
28 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
2928, 16opprbas 18629 . . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` (oppr ` R ) )
3028, 6oppr0 18633 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` (oppr ` R ) )
3128, 5oppr1 18634 . . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` (oppr ` R ) )
32 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( ||r ` (oppr ` R ) ) = ( ||r ` (oppr ` R ) )
33 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( .r ` (oppr ` R ) ) = ( .r ` (oppr ` R ) )
3428opprdomn 19301 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. Domn -> (oppr ` R ) e. Domn )
3523, 34syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) /\ x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> (oppr ` R ) e. Domn )
36 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( y e. B |-> ( y ( .r ` (oppr ` R ) ) x ) ) = ( y e. B |-> ( y ( .r ` (oppr ` R ) ) x ) )
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 19306 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) /\ x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) )
3810, 5, 21, 28, 32isunit 18657 . . . . . . . 8 |- ( x e. (Unit ` R ) <-> ( x ( ||r ` R ) ( 1r ` R ) /\ x ( ||r ` (oppr ` R ) ) ( 1r ` R ) ) )
3927, 37, 38sylanbrc 698 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) /\ x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) -> x e. (Unit ` R ) )
4039ex 450 . . . . . 6 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> ( x e. ( B \ { ( 0g ` R ) } ) -> x e. (Unit ` R ) ) )
4140ssrdv 3609 . . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> ( B \ { ( 0g ` R ) } ) C_ (Unit ` R ) )
4220, 41eqssd 3620 . . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> (Unit ` R ) = ( B \ { ( 0g ` R ) } ) )
4316, 10, 6isdrng 18751 . . . 4 |- ( R e. DivRing <-> ( R e. Ring /\ (Unit ` R ) = ( B \ { ( 0g ` R ) } ) ) )
442, 42, 43sylanbrc 698 . . 3 |- ( ( B e. Fin /\ R e. Domn ) -> R e. DivRing )
4544ex 450 . 2 |- ( B e. Fin -> ( R e. Domn -> R e. DivRing ) )
46 drngdomn 19303 . 2 |- ( R e. DivRing -> R e. Domn )
4745, 46impbid1 215 1 |- ( B e. Fin -> ( R e. Domn <-> R e. DivRing ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547  opprcoppr 18622   ||rcdsr 18638  Unitcui 18639   DivRingcdr 18747  NzRingcnzr 19257  Domncdomn 19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284
This theorem is referenced by:  fiidomfld  19308
  Copyright terms: Public domain W3C validator