Theorem lgsdchr 25080

Description: The Legendre symbol function X ( m ) = ( m /L N ), where N is an odd positive number, is a real Dirichlet character modulo N. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	|- G = (DChr ` N )
lgsdchr.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
lgsdchr.d	|- D = ( Base ` G )
lgsdchr.b	|- B = ( Base ` Z )
lgsdchr.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
lgsdchr.x	|- X = ( y e. B |-> ( iota h E. m e. ZZ ( y = ( L ` m ) /\ h = ( m /L N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgsdchr	|- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( X e. D /\ X : B --> RR ) )

Distinct variable groups:   y, B   h, m, y, L   h, N, m, y   y, X   y, Z

Allowed substitution hints:   B( h, m)   D( y, h, m)   G( y, h, m)   X( h, m)   Z( h, m)

Proof of Theorem lgsdchr

Dummy variables a b x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iotaex 5868	. . . . . 6 |- ( iota h E. m e. ZZ ( y = ( L ` m ) /\ h = ( m /L N ) ) ) e. _V
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ y e. B ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( y = ( L ` m ) /\ h = ( m /L N ) ) ) e. _V )
3		lgsdchr.x	. . . . . 6 |- X = ( y e. B |-> ( iota h E. m e. ZZ ( y = ( L ` m ) /\ h = ( m /L N ) ) ) )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> X = ( y e. B |-> ( iota h E. m e. ZZ ( y = ( L ` m ) /\ h = ( m /L N ) ) ) ) )
5		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> N e. NN0 )
7		lgsdchr.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
8		lgsdchr.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` Z )
9		lgsdchr.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( ZRHom ` Z )
10	7, 8, 9	znzrhfo 19896	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> B )
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> L : ZZ -onto-> B )
12		foelrn 6378	. . . . . . 7 |- ( ( L : ZZ -onto-> B /\ x e. B ) -> E. a e. ZZ x = ( L ` a ) )
13	11, 12	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ x e. B ) -> E. a e. ZZ x = ( L ` a ) )
14		lgsdchr.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = (DChr ` N )
15		lgsdchr.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( Base ` G )
16	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 25079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( a /L N ) )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> a e. ZZ )
18		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> N e. ZZ )
20		lgscl 25036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( a /L N ) e. ZZ )
21	17, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( a /L N ) e. ZZ )
22	21	zred 11482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( a /L N ) e. RR )
23	16, 22	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( X ` ( L ` a ) ) e. RR )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( L ` a ) -> ( X ` x ) = ( X ` ( L ` a ) ) )
25	24	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( L ` a ) -> ( ( X ` x ) e. RR <-> ( X ` ( L ` a ) ) e. RR ) )
26	23, 25	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( x = ( L ` a ) -> ( X ` x ) e. RR ) )
27	26	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( E. a e. ZZ x = ( L ` a ) -> ( X ` x ) e. RR ) )
28	27	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ E. a e. ZZ x = ( L ` a ) ) -> ( X ` x ) e. RR )
29	13, 28	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ x e. B ) -> ( X ` x ) e. RR )
30	2, 4, 29	fmpt2d 6393	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> X : B --> RR )
31		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
32		fss 6056	. . . 4 |- ( ( X : B --> RR /\ RR C_ CC ) -> X : B --> CC )
33	30, 31, 32	sylancl 694	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> X : B --> CC )
34		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Unit ` Z ) = (Unit ` Z )
35	8, 34	unitss 18660	. . . . 5 |- (Unit ` Z ) C_ B
36		foelrn 6378	. . . . . . . . 9 |- ( ( L : ZZ -onto-> B /\ y e. B ) -> E. b e. ZZ y = ( L ` b ) )
37	11, 36	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ y e. B ) -> E. b e. ZZ y = ( L ` b ) )
38	13, 37	anim12dan 882	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. a e. ZZ x = ( L ` a ) /\ E. b e. ZZ y = ( L ` b ) ) )
39		reeanv 3107	. . . . . . . . 9 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( x = ( L ` a ) /\ y = ( L ` b ) ) <-> ( E. a e. ZZ x = ( L ` a ) /\ E. b e. ZZ y = ( L ` b ) ) )
40	17	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. ZZ )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. ZZ )
42	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> N e. NN0 )
43		lgsdirnn0 25069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ /\ N e. NN0 ) -> ( ( a x. b ) /L N ) = ( ( a /L N ) x. ( b /L N ) ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. b ) /L N ) = ( ( a /L N ) x. ( b /L N ) ) )
45	7	zncrng 19893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
46	6, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> Z e. CRing )
47		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> Z e. Ring )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> Z e. Ring )
50	9	zrhrhm 19860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. Ring -> L e. (ℤring RingHom Z ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> L e. (ℤring RingHom Z ) )
52		zringbas 19824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
53		zringmulr 19827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x. = ( .r ` ℤring )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` Z ) = ( .r ` Z )
55	52, 53, 54	rhmmul 18727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. (ℤring RingHom Z ) /\ a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( L ` ( a x. b ) ) = ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) )
56	51, 40, 41, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( L ` ( a x. b ) ) = ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( X ` ( L ` ( a x. b ) ) ) = ( X ` ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) ) )
58		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) -> ( a x. b ) e. ZZ )
59	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 25079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a x. b ) e. ZZ ) -> ( X ` ( L ` ( a x. b ) ) ) = ( ( a x. b ) /L N ) )
60	58, 59	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( X ` ( L ` ( a x. b ) ) ) = ( ( a x. b ) /L N ) )
61	57, 60	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( X ` ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) ) = ( ( a x. b ) /L N ) )
62	16	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( a /L N ) )
63	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 25079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ b e. ZZ ) -> ( X ` ( L ` b ) ) = ( b /L N ) )
64	63	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( X ` ( L ` b ) ) = ( b /L N ) )
65	62, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( X ` ( L ` b ) ) ) = ( ( a /L N ) x. ( b /L N ) ) )
66	44, 61, 65	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( X ` ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) ) = ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( X ` ( L ` b ) ) ) )
67		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( L ` a ) /\ y = ( L ` b ) ) -> ( x ( .r ` Z ) y ) = ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( L ` a ) /\ y = ( L ` b ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( X ` ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) ) )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( L ` b ) -> ( X ` y ) = ( X ` ( L ` b ) ) )
70	24, 69	oveqan12d 6669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( L ` a ) /\ y = ( L ` b ) ) -> ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( X ` ( L ` b ) ) ) )
71	68, 70	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( L ` a ) /\ y = ( L ` b ) ) -> ( ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) <-> ( X ` ( ( L ` a ) ( .r ` Z ) ( L ` b ) ) ) = ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( X ` ( L ` b ) ) ) ) )
72	66, 71	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( x = ( L ` a ) /\ y = ( L ` b ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
73	72	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( x = ( L ` a ) /\ y = ( L ` b ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
74	39, 73	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( ( E. a e. ZZ x = ( L ` a ) /\ E. b e. ZZ y = ( L ` b ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
75	74	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( E. a e. ZZ x = ( L ` a ) /\ E. b e. ZZ y = ( L ` b ) ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
76	38, 75	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
77	76	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
78		ssralv 3666	. . . . . . 7 |- ( (Unit ` Z ) C_ B -> ( A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) -> A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
79	78	ralimdv 2963	. . . . . 6 |- ( (Unit ` Z ) C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) -> A. x e. B A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
80		ssralv 3666	. . . . . 6 |- ( (Unit ` Z ) C_ B -> ( A. x e. B A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) -> A. x e. (Unit ` Z ) A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
81	79, 80	syld 47	. . . . 5 |- ( (Unit ` Z ) C_ B -> ( A. x e. B A. y e. B ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) -> A. x e. (Unit ` Z ) A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
82	35, 77, 81	mpsyl 68	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> A. x e. (Unit ` Z ) A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
83		1z 11407	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
84	14, 7, 15, 8, 9, 3	lgsdchrval 25079	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = ( 1 /L N ) )
85	83, 84	mpan2 707	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = ( 1 /L N ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` Z ) = ( 1r ` Z )
87	9, 86	zrh1 19861	. . . . . . 7 |- ( Z e. Ring -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Z ) )
88	48, 87	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( L ` 1 ) = ( 1r ` Z ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( X ` ( L ` 1 ) ) = ( X ` ( 1r ` Z ) ) )
90	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> N e. ZZ )
91		1lgs 25065	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1 /L N ) = 1 )
92	90, 91	syl 17	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( 1 /L N ) = 1 )
93	85, 89, 92	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 )
94		lgsne0 25060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( a /L N ) =/= 0 <-> ( a gcd N ) = 1 ) )
95	17, 19, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( a /L N ) =/= 0 <-> ( a gcd N ) = 1 ) )
96	95	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( a /L N ) =/= 0 -> ( a gcd N ) = 1 ) )
97	16	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( X ` ( L ` a ) ) =/= 0 <-> ( a /L N ) =/= 0 ) )
98	7, 34, 9	znunit 19912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ a e. ZZ ) -> ( ( L ` a ) e. (Unit ` Z ) <-> ( a gcd N ) = 1 ) )
99	6, 98	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( L ` a ) e. (Unit ` Z ) <-> ( a gcd N ) = 1 ) )
100	96, 97, 99	3imtr4d 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( X ` ( L ` a ) ) =/= 0 -> ( L ` a ) e. (Unit ` Z ) ) )
101	24	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( L ` a ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 <-> ( X ` ( L ` a ) ) =/= 0 ) )
102		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( L ` a ) -> ( x e. (Unit ` Z ) <-> ( L ` a ) e. (Unit ` Z ) ) )
103	101, 102	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( L ` a ) -> ( ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) <-> ( ( X ` ( L ` a ) ) =/= 0 -> ( L ` a ) e. (Unit ` Z ) ) ) )
104	100, 103	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ a e. ZZ ) -> ( x = ( L ` a ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) ) )
105	104	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( E. a e. ZZ x = ( L ` a ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) ) )
106	105	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ E. a e. ZZ x = ( L ` a ) ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) )
107	13, 106	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) /\ x e. B ) -> ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) )
108	107	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) )
109	82, 93, 108	3jca 1242	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( A. x e. (Unit ` Z ) A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) ) )
110		simpl 473	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> N e. NN )
111	14, 7, 8, 34, 110, 15	dchrelbas3 24963	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( X e. D <-> ( X : B --> CC /\ ( A. x e. (Unit ` Z ) A. y e. (Unit ` Z ) ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) /\ ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 /\ A. x e. B ( ( X ` x ) =/= 0 -> x e. (Unit ` Z ) ) ) ) ) )
112	33, 109, 111	mpbir2and 957	. 2 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> X e. D )
113	112, 30	jca 554	1 |- ( ( N e. NN /\ -. 2 || N ) -> ( X e. D /\ X : B --> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   iotacio 5849   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Unitcui 18639   RingHom crh 18712  ℤ_ringzring 19818   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957   /Lclgs 25019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dchr 24958  df-lgs 25020

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