Theorem nrginvrcn 22496

Description: The ring inverse function is continuous in a normed ring. (Note that this is true even in rings which are not division rings.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	|- X = ( Base ` R )
nrginvrcn.u	|- U = (Unit ` R )
nrginvrcn.i	|- I = ( invr ` R )
nrginvrcn.j	|- J = ( TopOpen ` R )

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcn	|- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Proof of Theorem nrginvrcn

Dummy variables s r x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrgring 22467	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> R e. Ring )
2		nrginvrcn.u	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s U )
4	2, 3	unitgrp 18667	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp )
5	2, 3	unitgrpbas 18666	. . . . 5 |- U = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
6		nrginvrcn.i	. . . . . 6 |- I = ( invr ` R )
7	2, 3, 6	invrfval 18673	. . . . 5 |- I = ( invg ` ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) )
8	5, 7	grpinvf 17466	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` R ) ↾s U ) e. Grp -> I : U --> U )
9	1, 4, 8	3syl 18	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> I : U --> U )
10		1rp 11836	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
11	10	ne0ii 3923	. . . . . . 7 |- RR+ =/= (/)
12	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. Ring )
13		nrginvrcn.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( Base ` R )
14	13, 2	unitss 18660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U C_ X
15		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. U )
16	14, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> x e. X )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. U )
18	14, 17	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> y e. X )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
21	13, 19, 20	ring1eq0 18590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> x = y ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I ` y ) = ( I ` y )
24		nrgngp 22466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
25		ngpms 22404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. NrmGrp -> R e. MetSp )
26		msxms 22259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. MetSp -> R e. *MetSp )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. NrmRing -> R e. *MetSp )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> R e. *MetSp )
29	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> I : U --> U )
30	29	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. U )
31	14, 30	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. X )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
33	13, 32	xmseq0 22269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. *MetSp /\ ( I ` y ) e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
34	28, 31, 31, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 <-> ( I ` y ) = ( I ` y ) ) )
35	23, 34	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = 0 )
36		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> r e. RR+ )
37	36	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> 0 < r )
38	35, 37	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( I ` x ) = ( I ` y ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` y ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
42	38, 41	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x = y -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
43	22, 42	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
44	43	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
45	44	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r )
46	45	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
48	47	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
49		r19.2z 4060	. . . . . . 7 |- ( ( RR+ =/= (/) /\ A. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
50	11, 48, 49	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
51		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( norm ` R ) = ( norm ` R )
52		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NrmRing )
53	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. Ring )
54		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) )
55	19, 20	isnzr 19259	. . . . . . . 8 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
56	53, 54, 55	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> R e. NzRing )
57		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> x e. U )
58		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> r e. RR+ )
59		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) , 1 , ( ( ( norm ` R ) ` x ) x. r ) ) x. ( ( ( norm ` R ) ` x ) / 2 ) )
60	13, 2, 6, 51, 32, 52, 56, 57, 58, 59	nrginvrcnlem 22495	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
61	50, 60	pm2.61dane 2881	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
62	15, 17	ovresd 6801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) = ( x ( dist ` R ) y ) )
63	62	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s <-> ( x ( dist ` R ) y ) < s ) )
64		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U /\ r e. RR+ ) -> x e. U )
65		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I : U --> U /\ x e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
66	9, 64, 65	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( I ` x ) e. U )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( I ` x ) e. U )
68	67, 30	ovresd 6801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) = ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) )
69	68	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r <-> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) )
70	63, 69	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) /\ y e. U ) -> ( ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
71	70	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
72	71	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> ( E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( dist ` R ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( dist ` R ) ( I ` y ) ) < r ) ) )
73	61, 72	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( x e. U /\ r e. RR+ ) ) -> E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
74	73	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) )
75		xpss12 5225	. . . . . . 7 |- ( ( U C_ X /\ U C_ X ) -> ( U X. U ) C_ ( X X. X ) )
76	14, 14, 75	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( U X. U ) C_ ( X X. X )
77		resabs1 5427	. . . . . 6 |- ( ( U X. U ) C_ ( X X. X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) )
79		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) = ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) )
80	13, 79	xmsxmet 22261	. . . . . . 7 |- ( R e. *MetSp -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
81	24, 25, 26, 80	4syl 19	. . . . . 6 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) )
82		xmetres2 22166	. . . . . 6 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
83	81, 14, 82	sylancl 694	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
84	78, 83	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) )
85		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) )
86	85, 85	metcn 22348	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) /\ ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) e. ( *Met ` U ) ) -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
87	84, 84, 86	syl2anc 693	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) <-> ( I : U --> U /\ A. x e. U A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. y e. U ( ( x ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) y ) < s -> ( ( I ` x ) ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ( I ` y ) ) < r ) ) ) )
88	9, 74, 87	mpbir2and 957	. 2 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
89		nrginvrcn.j	. . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` R )
90	89, 13, 79	mstopn 22257	. . . . . 6 |- ( R e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
91	24, 25, 90	3syl 18	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) )
93	78	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) = ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) |` ( U X. U ) )
94		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) )
95	93, 94, 85	metrest 22329	. . . . 5 |- ( ( ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) e. ( *Met ` X ) /\ U C_ X ) -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
96	81, 14, 95	sylancl 694	. . . 4 |- ( R e. NrmRing -> ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( X X. X ) ) ) ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
97	92, 96	eqtrd 2656	. . 3 |- ( R e. NrmRing -> ( J ↾t U ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) )
98	97, 97	oveq12d 6668	. 2 |- ( R e. NrmRing -> ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) Cn ( MetOpen ` ( ( dist ` R ) |` ( U X. U ) ) ) ) )
99	88, 98	eleqtrrd 2704	1 |- ( R e. NrmRing -> I e. ( ( J ↾t U ) Cn ( J ↾t U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547  Unitcui 18639   invrcinvr 18671  NzRingcnzr 19257   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmRingcnrg 22384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-abv 18817  df-nzr 19258  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390

This theorem is referenced by:  nrgtdrg  22497