Theorem sum2dchr 24999

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of x ( A ) for fixed A and all x is 0 if A = 1 and phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sum2dchr.g	|- G = (DChr ` N )
sum2dchr.d	|- D = ( Base ` G )
sum2dchr.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
sum2dchr.b	|- B = ( Base ` Z )
sum2dchr.u	|- U = (Unit ` Z )
sum2dchr.n	|- ( ph -> N e. NN )
sum2dchr.a	|- ( ph -> A e. B )
sum2dchr.c	|- ( ph -> C e. U )

Assertion

Ref	Expression
sum2dchr	|- ( ph -> sum_ x e. D ( ( x ` A ) x. ( * ` ( x ` C ) ) ) = if ( A = C , ( phi ` N ) , 0 ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D   x, G   x, N   ph, x   x, Z

Allowed substitution hints:   B( x)   U( x)

Proof of Theorem sum2dchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum2dchr.g	. . 3 |- G = (DChr ` N )
2		sum2dchr.d	. . 3 |- D = ( Base ` G )
3		sum2dchr.z	. . 3 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( 1r ` Z ) = ( 1r ` Z )
5		sum2dchr.b	. . 3 |- B = ( Base ` Z )
6		sum2dchr.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
7	6	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
8	3	zncrng 19893	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
9		crngring 18558	. . . . 5 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> Z e. Ring )
11		sum2dchr.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. B )
12		sum2dchr.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. U )
13		sum2dchr.u	. . . . 5 |- U = (Unit ` Z )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- (/r ` Z ) = (/r ` Z )
15	5, 13, 14	dvrcl 18686	. . . 4 |- ( ( Z e. Ring /\ A e. B /\ C e. U ) -> ( A (/r ` Z ) C ) e. B )
16	10, 11, 12, 15	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( A (/r ` Z ) C ) e. B )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16	sumdchr 24997	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. D ( x ` ( A (/r ` Z ) C ) ) = if ( ( A (/r ` Z ) C ) = ( 1r ` Z ) , ( phi ` N ) , 0 ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` Z ) = ( .r ` Z )
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invr ` Z ) = ( invr ` Z )
20	5, 18, 13, 19, 14	dvrval 18685	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ C e. U ) -> ( A (/r ` Z ) C ) = ( A ( .r ` Z ) ( ( invr ` Z ) ` C ) ) )
21	11, 12, 20	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (/r ` Z ) C ) = ( A ( .r ` Z ) ( ( invr ` Z ) ` C ) ) )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( A (/r ` Z ) C ) = ( A ( .r ` Z ) ( ( invr ` Z ) ` C ) ) )
23	22	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x ` ( A (/r ` Z ) C ) ) = ( x ` ( A ( .r ` Z ) ( ( invr ` Z ) ` C ) ) ) )
24	1, 3, 2	dchrmhm 24966	. . . . . 6 |- D C_ ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) )
25		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. D )
26	24, 25	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) )
27	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> A e. B )
28	5, 13	unitss 18660	. . . . . 6 |- U C_ B
29	13, 19	unitinvcl 18674	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. Ring /\ C e. U ) -> ( ( invr ` Z ) ` C ) e. U )
30	10, 12, 29	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( invr ` Z ) ` C ) e. U )
31	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invr ` Z ) ` C ) e. U )
32	28, 31	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invr ` Z ) ` C ) e. B )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` Z ) = (mulGrp ` Z )
34	33, 5	mgpbas 18495	. . . . . 6 |- B = ( Base ` (mulGrp ` Z ) )
35	33, 18	mgpplusg 18493	. . . . . 6 |- ( .r ` Z ) = ( +g ` (mulGrp ` Z ) )
36		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
37		cnfldmul 19752	. . . . . . 7 |- x. = ( .r ` ℂfld )
38	36, 37	mgpplusg 18493	. . . . . 6 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
39	34, 35, 38	mhmlin 17342	. . . . 5 |- ( ( x e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ A e. B /\ ( ( invr ` Z ) ` C ) e. B ) -> ( x ` ( A ( .r ` Z ) ( ( invr ` Z ) ` C ) ) ) = ( ( x ` A ) x. ( x ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) ) )
40	26, 27, 32, 39	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x ` ( A ( .r ` Z ) ( ( invr ` Z ) ` C ) ) ) = ( ( x ` A ) x. ( x ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( (mulGrp ` Z ) ↾s U ) = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) )
43	1, 3, 2, 13, 41, 42, 25	dchrghm 24981	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x |` U ) e. ( ( (mulGrp ` Z ) ↾s U ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) )
44	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> C e. U )
45	13, 41	unitgrpbas 18666	. . . . . . . 8 |- U = ( Base ` ( (mulGrp ` Z ) ↾s U ) )
46	13, 41, 19	invrfval 18673	. . . . . . . 8 |- ( invr ` Z ) = ( invg ` ( (mulGrp ` Z ) ↾s U ) )
47		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . 10 |- CC = ( Base ` ℂfld )
48		cnfld0 19770	. . . . . . . . . 10 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
49		cndrng 19775	. . . . . . . . . 10 |- ℂfld e. DivRing
50	47, 48, 49	drngui 18753	. . . . . . . . 9 |- ( CC \ { 0 } ) = (Unit ` ℂfld )
51		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( invr ` ℂfld ) = ( invr ` ℂfld )
52	50, 42, 51	invrfval 18673	. . . . . . . 8 |- ( invr ` ℂfld ) = ( invg ` ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) )
53	45, 46, 52	ghminv 17667	. . . . . . 7 |- ( ( ( x |` U ) e. ( ( (mulGrp ` Z ) ↾s U ) GrpHom ( (mulGrp ` ℂfld ) ↾s ( CC \ { 0 } ) ) ) /\ C e. U ) -> ( ( x |` U ) ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) = ( ( invr ` ℂfld ) ` ( ( x |` U ) ` C ) ) )
54	43, 44, 53	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( x |` U ) ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) = ( ( invr ` ℂfld ) ` ( ( x |` U ) ` C ) ) )
55		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( ( ( invr ` Z ) ` C ) e. U -> ( ( x |` U ) ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) = ( x ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) )
56	31, 55	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( x |` U ) ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) = ( x ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) )
57		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( C e. U -> ( ( x |` U ) ` C ) = ( x ` C ) )
58	44, 57	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( x |` U ) ` C ) = ( x ` C ) )
59	58	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` ( ( x |` U ) ` C ) ) = ( ( invr ` ℂfld ) ` ( x ` C ) ) )
60	1, 3, 2, 5, 25	dchrf 24967	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x : B --> CC )
61	28, 44	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> C e. B )
62	60, 61	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x ` C ) e. CC )
63	1, 3, 2, 5, 13, 25, 61	dchrn0 24975	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( x ` C ) =/= 0 <-> C e. U ) )
64	44, 63	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x ` C ) =/= 0 )
65		cnfldinv 19777	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x ` C ) e. CC /\ ( x ` C ) =/= 0 ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` ( x ` C ) ) = ( 1 / ( x ` C ) ) )
66	62, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` ( x ` C ) ) = ( 1 / ( x ` C ) ) )
67		recval 14062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x ` C ) e. CC /\ ( x ` C ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( x ` C ) ) = ( ( * ` ( x ` C ) ) / ( ( abs ` ( x ` C ) ) ^ 2 ) ) )
68	62, 64, 67	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( 1 / ( x ` C ) ) = ( ( * ` ( x ` C ) ) / ( ( abs ` ( x ` C ) ) ^ 2 ) ) )
69	1, 2, 25, 3, 13, 44	dchrabs 24985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( abs ` ( x ` C ) ) = 1 )
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( abs ` ( x ` C ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
71		sq1 12958	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
72	70, 71	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( abs ` ( x ` C ) ) ^ 2 ) = 1 )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( * ` ( x ` C ) ) / ( ( abs ` ( x ` C ) ) ^ 2 ) ) = ( ( * ` ( x ` C ) ) / 1 ) )
74	62	cjcld 13936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( * ` ( x ` C ) ) e. CC )
75	74	div1d 10793	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( * ` ( x ` C ) ) / 1 ) = ( * ` ( x ` C ) ) )
76	68, 73, 75	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( 1 / ( x ` C ) ) = ( * ` ( x ` C ) ) )
77	59, 66, 76	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invr ` ℂfld ) ` ( ( x |` U ) ` C ) ) = ( * ` ( x ` C ) ) )
78	54, 56, 77	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) = ( * ` ( x ` C ) ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( x ` A ) x. ( x ` ( ( invr ` Z ) ` C ) ) ) = ( ( x ` A ) x. ( * ` ( x ` C ) ) ) )
80	23, 40, 79	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( x ` ( A (/r ` Z ) C ) ) = ( ( x ` A ) x. ( * ` ( x ` C ) ) ) )
81	80	sumeq2dv 14433	. 2 |- ( ph -> sum_ x e. D ( x ` ( A (/r ` Z ) C ) ) = sum_ x e. D ( ( x ` A ) x. ( * ` ( x ` C ) ) ) )
82	5, 13, 14, 4	dvreq1 18693	. . . 4 |- ( ( Z e. Ring /\ A e. B /\ C e. U ) -> ( ( A (/r ` Z ) C ) = ( 1r ` Z ) <-> A = C ) )
83	10, 11, 12, 82	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( A (/r ` Z ) C ) = ( 1r ` Z ) <-> A = C ) )
84	83	ifbid 4108	. 2 |- ( ph -> if ( ( A (/r ` Z ) C ) = ( 1r ` Z ) , ( phi ` N ) , 0 ) = if ( A = C , ( phi ` N ) , 0 ) )
85	17, 81, 84	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> sum_ x e. D ( ( x ` A ) x. ( * ` ( x ` C ) ) ) = if ( A = C , ( phi ` N ) , 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   *ccj 13836   abscabs 13974   sum_csu 14416   phicphi 15469   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .rcmulr 15942   MndHom cmhm 17333   GrpHom cghm 17657  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Unitcui 18639   invrcinvr 18671  /_rcdvr 18682  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-od 17948  df-gex 17949  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-dprd 18394  df-dpj 18395  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25201