Theorem dchrptlem1 24989

Description: Lemma for dchrpt 24992. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	|- G = (DChr ` N )
dchrpt.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrpt.d	|- D = ( Base ` G )
dchrpt.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrpt.1	|- .1. = ( 1r ` Z )
dchrpt.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrpt.n1	|- ( ph -> A =/= .1. )
dchrpt.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrpt.h	|- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
dchrpt.m	|- .x. = (.g ` H )
dchrpt.s	|- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
dchrpt.au	|- ( ph -> A e. U )
dchrpt.w	|- ( ph -> W e. Word U )
dchrpt.2	|- ( ph -> H dom DProd S )
dchrpt.3	|- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
dchrpt.p	|- P = ( HdProj S )
dchrpt.o	|- O = ( od ` H )
dchrpt.t	|- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
dchrpt.i	|- ( ph -> I e. dom W )
dchrpt.4	|- ( ph -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
dchrpt.5	|- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrptlem1	|- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Distinct variable groups:   h, k, m, n, .1.   u, h, A, k, m, n   h, I, k, m, u   C, h, m, u   h, H, k, m, n, u   h, W, k, m, n, u   .x. , h, k, m, n, u   P, h, m, u   S, h, k, m, n, u   h, Z, k, m, n, u   h, M, m   ph, h, k, m, n   T, h, m, u   U, h, m, u

Allowed substitution hints:   ph( u)   B( u, h, k, m, n)   C( k, n)   D( u, h, k, m, n)   P( k, n)   T( k, n)   U( k, n)   .1. ( u)   G( u, h, k, m, n)   I( n)   M( u, k, n)   N( u, h, k, m, n)   O( u, h, k, m, n)   X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( u = C -> ( ( P ` I ) ` u ) = ( ( P ` I ) ` C ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( u = C -> ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) )
3	2	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( u = C -> ( ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
4	3	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( u = C -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
5	4	iotabidv 5872	. . . 4 |- ( u = C -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
6		dchrpt.5	. . . 4 |- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
7		iotaex 5868	. . . 4 |- ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) e. _V
8	5, 6, 7	fvmpt3i 6287	. . 3 |- ( C e. U -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
9	8	ad2antlr 763	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
10		ovex 6678	. . 3 |- ( T ^ M ) e. _V
11		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) )
12		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
13	12	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
14	11, 13	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
15		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ph )
16		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> m e. ZZ )
17	12	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> M e. ZZ )
18		dchrpt.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN0 )
20		dchrpt.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
21	20	zncrng 19893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
22		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
23		dchrpt.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U = (Unit ` Z )
24		dchrpt.h	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
25	23, 24	unitgrp 18667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z e. Ring -> H e. Grp )
26	19, 21, 22, 25	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H e. Grp )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> H e. Grp )
28		dchrpt.w	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. Word U )
29		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. Word U -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
31		dchrpt.i	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> I e. dom W )
32		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
34	31, 33	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
35	30, 34	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( W ` I ) e. U )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( W ` I ) e. U )
37		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> m e. ZZ )
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> M e. ZZ )
39	23, 24	unitgrpbas 18666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U = ( Base ` H )
40		dchrpt.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( od ` H )
41		dchrpt.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = (.g ` H )
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
43	39, 40, 41, 42	odcong 17968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H e. Grp /\ ( W ` I ) e. U /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
44	27, 36, 37, 38, 43	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) <-> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
45		dchrpt.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
46		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u 1 e. CC
47		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
48		dchrpt.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- B = ( Base ` Z )
49	20, 48	znfi 19908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
50	18, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. Fin )
51	48, 23	unitss 18660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- U C_ B
52		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. Fin /\ U C_ B ) -> U e. Fin )
53	50, 51, 52	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> U e. Fin )
54	39, 40	odcl2 17982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( H e. Grp /\ U e. Fin /\ ( W ` I ) e. U ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
55	26, 53, 35, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
57		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. RR /\ ( O ` ( W ` I ) ) e. NN ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
58	47, 56, 57	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
59	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC )
60		cxpcl 24420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
61	46, 59, 60	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
62	45, 61	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T e. CC )
63	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 e. CC )
64		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 =/= 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> -u 1 =/= 0 )
66	63, 65, 59	cxpne0d 24459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
67	45	neeq1i 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T =/= 0 <-> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
68	66, 67	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> T =/= 0 )
69		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( m - M ) e. ZZ )
70	69	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( m - M ) e. ZZ )
71	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. ZZ )
72		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T e. CC /\ T =/= 0 ) /\ ( ( m - M ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
73	62, 68, 70, 71, 72	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) )
74	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. ZZ )
75	74	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> m e. CC )
76	71	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> M e. CC )
77	75, 76	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( m - M ) + M ) = m )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( ( m - M ) + M ) ) = ( T ^ m ) )
79	45	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T ^ ( m - M ) ) = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) )
80		root1eq1 24496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( O ` ( W ` I ) ) e. NN /\ ( m - M ) e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
81	55, 69, 80	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) )
82	81	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ ( m - M ) ) = 1 )
83	79, 82	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ ( m - M ) ) = 1 )
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( 1 x. ( T ^ M ) ) )
85	62, 68, 71	expclzd 13013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ M ) e. CC )
86	85	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( 1 x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
87	84, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( ( T ^ ( m - M ) ) x. ( T ^ M ) ) = ( T ^ M ) )
88	73, 78, 87	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
89	88	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || ( m - M ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
90	44, 89	sylbird 250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
91	15, 16, 17, 90	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) ) )
92	14, 91	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
93	92	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
94	93	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ m ) -> h = ( T ^ M ) ) )
95	94	expimpd 629	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
96	95	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) -> h = ( T ^ M ) ) )
97		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( m .x. ( W ` I ) ) = ( M .x. ( W ` I ) ) )
98	97	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) )
99		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( T ^ m ) = ( T ^ M ) )
100	99	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( h = ( T ^ m ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
101	98, 100	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) )
102	101	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ M ) ) ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) )
103	102	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
104	103	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( h = ( T ^ M ) -> E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
105	96, 104	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
106	105	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) <-> h = ( T ^ M ) ) )
107	106	iota5 5871	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) /\ ( T ^ M ) e. _V ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
108	10, 107	mpan2 707	. 2 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` C ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) = ( T ^ M ) )
109	9, 108	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( ph /\ C e. U ) /\ ( M e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` C ) = ( M .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` C ) = ( T ^ M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117  Word cword 13291   || cdvds 14983   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   odcod 17944   DProd cdprd 18392  dProjcdpj 18393  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Unitcui 18639  ℤ/nℤczn 19851   ^c ccxp 24302  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  dchrptlem2  24990