Theorem nrginvrcnlem 22495

Description: Lemma for nrginvrcn 22496. Compare this proof with reccn2 14327, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrginvrcn.x	|- X = ( Base ` R )
nrginvrcn.u	|- U = (Unit ` R )
nrginvrcn.i	|- I = ( invr ` R )
nrginvrcn.n	|- N = ( norm ` R )
nrginvrcn.d	|- D = ( dist ` R )
nrginvrcn.r	|- ( ph -> R e. NrmRing )
nrginvrcn.z	|- ( ph -> R e. NzRing )
nrginvrcn.a	|- ( ph -> A e. U )
nrginvrcn.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
nrginvrcn.t	|- T = ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
nrginvrcnlem	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. y e. U ( ( A D y ) < x -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) )

Distinct variable groups:   x, y, I   ph, y   x, R, y   x, T, y   x, U, y   x, A   x, B   x, D

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( y)   B( y)   D( y)   N( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem nrginvrcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrginvrcn.t	. . 3 |- T = ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) )
2		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
3		nrginvrcn.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. NrmRing )
4		nrgngp 22466	. . . . . . . 8 |- ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. NrmGrp )
6		nrginvrcn.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( Base ` R )
7		nrginvrcn.u	. . . . . . . . 9 |- U = (Unit ` R )
8	6, 7	unitss 18660	. . . . . . . 8 |- U C_ X
9		nrginvrcn.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. U )
10	8, 9	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. X )
11		nrginvrcn.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. NzRing )
12		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
13	7, 12	nzrunit 19267	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. NzRing /\ A e. U ) -> A =/= ( 0g ` R ) )
14	11, 9, 13	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> A =/= ( 0g ` R ) )
15		nrginvrcn.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` R )
16	6, 15, 12	nmrpcl 22424	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NrmGrp /\ A e. X /\ A =/= ( 0g ` R ) ) -> ( N ` A ) e. RR+ )
17	5, 10, 14, 16	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` A ) e. RR+ )
18		nrginvrcn.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR+ )
19	17, 18	rpmulcld 11888	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` A ) x. B ) e. RR+ )
20		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( N ` A ) x. B ) e. RR+ ) -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) e. RR+ )
21	2, 19, 20	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) e. RR+ )
22	17	rphalfcld 11884	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` A ) / 2 ) e. RR+ )
23	21, 22	rpmulcld 11888	. . 3 |- ( ph -> ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) e. RR+ )
24	1, 23	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> T e. RR+ )
25	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> R e. NrmGrp )
26	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> A e. U )
27	6, 7	unitcl 18659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. U -> A e. X )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> A e. X )
29	6, 15	nmcl 22420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmGrp /\ A e. X ) -> ( N ` A ) e. RR )
30	25, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` A ) e. RR )
31	30	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` A ) e. CC )
32		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> y e. U )
33	8, 32	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> y e. X )
34	6, 15	nmcl 22420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmGrp /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
35	25, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
36	35	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` y ) e. CC )
37		ngpgrp 22403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. NrmGrp -> R e. Grp )
38	25, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> R e. Grp )
39		nrgring 22467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. NrmRing -> R e. Ring )
40	3, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R e. Ring )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> R e. Ring )
42		nrginvrcn.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- I = ( invr ` R )
43	7, 42, 6	ringinvcl 18676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ A e. U ) -> ( I ` A ) e. X )
44	41, 26, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( I ` A ) e. X )
45	7, 42, 6	ringinvcl 18676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ y e. U ) -> ( I ` y ) e. X )
46	41, 32, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( I ` y ) e. X )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
48	6, 47	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Grp /\ ( I ` A ) e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) e. X )
49	38, 44, 46, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) e. X )
50	6, 15	nmcl 22420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmGrp /\ ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) e. X ) -> ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) e. RR )
51	25, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) e. RR )
52	51	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) e. CC )
53	31, 36, 52	mul32d 10246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) = ( ( ( N ` A ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) x. ( N ` y ) ) )
54	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> R e. NrmRing )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
56	6, 15, 55	nmmul 22468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. NrmRing /\ A e. X /\ ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) e. X ) -> ( N ` ( A ( .r ` R ) ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) = ( ( N ` A ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) )
57	54, 28, 49, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( A ( .r ` R ) ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) = ( ( N ` A ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) )
58	6, 55, 47, 41, 28, 44, 46	ringsubdi 18599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A ( .r ` R ) ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) = ( ( A ( .r ` R ) ( I ` A ) ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
60	7, 42, 55, 59	unitrinv 18678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ A e. U ) -> ( A ( .r ` R ) ( I ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
61	41, 26, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A ( .r ` R ) ( I ` A ) ) = ( 1r ` R ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( A ( .r ` R ) ( I ` A ) ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) = ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) )
63	58, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A ( .r ` R ) ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) = ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( A ( .r ` R ) ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) = ( N ` ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ) )
65	57, 64	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) = ( N ` ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ) )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) x. ( N ` y ) ) = ( ( N ` ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ) x. ( N ` y ) ) )
67	6, 59	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. X )
68	41, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( 1r ` R ) e. X )
69	6, 55	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ A e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) e. X )
70	41, 28, 46, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) e. X )
71	6, 47	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. X /\ ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) e. X ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) e. X )
72	38, 68, 70, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) e. X )
73	6, 15, 55	nmmul 22468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. NrmRing /\ ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) e. X /\ y e. X ) -> ( N ` ( ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ( .r ` R ) y ) ) = ( ( N ` ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ) x. ( N ` y ) ) )
74	54, 72, 33, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ( .r ` R ) y ) ) = ( ( N ` ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ) x. ( N ` y ) ) )
75	6, 55, 47, 41, 68, 70, 33	rngsubdir 18600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ( .r ` R ) y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) ( -g ` R ) ( ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ( .r ` R ) y ) ) )
76	6, 55, 59	ringlidm 18571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ y e. X ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) = y )
77	41, 33, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) = y )
78	6, 55	ringass 18564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. X /\ ( I ` y ) e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ( .r ` R ) y ) = ( A ( .r ` R ) ( ( I ` y ) ( .r ` R ) y ) ) )
79	41, 28, 46, 33, 78	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ( .r ` R ) y ) = ( A ( .r ` R ) ( ( I ` y ) ( .r ` R ) y ) ) )
80	7, 42, 55, 59	unitlinv 18677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ y e. U ) -> ( ( I ` y ) ( .r ` R ) y ) = ( 1r ` R ) )
81	41, 32, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( I ` y ) ( .r ` R ) y ) = ( 1r ` R ) )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A ( .r ` R ) ( ( I ` y ) ( .r ` R ) y ) ) = ( A ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
83	6, 55, 59	ringridm 18572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ A e. X ) -> ( A ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = A )
84	41, 28, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = A )
85	79, 82, 84	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ( .r ` R ) y ) = A )
86	77, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) y ) ( -g ` R ) ( ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ( .r ` R ) y ) ) = ( y ( -g ` R ) A ) )
87	75, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ( .r ` R ) y ) = ( y ( -g ` R ) A ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ( .r ` R ) y ) ) = ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) )
89	74, 88	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` ( ( 1r ` R ) ( -g ` R ) ( A ( .r ` R ) ( I ` y ) ) ) ) x. ( N ` y ) ) = ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) )
90	53, 66, 89	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) = ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) )
91	6, 47	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. X /\ A e. X ) -> ( y ( -g ` R ) A ) e. X )
92	38, 33, 28, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( y ( -g ` R ) A ) e. X )
93	6, 15	nmcl 22420	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. NrmGrp /\ ( y ( -g ` R ) A ) e. X ) -> ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) e. RR )
94	25, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) e. RR )
95	94	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) e. CC )
96	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` A ) e. RR+ )
97	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> R e. NzRing )
98	7, 12	nzrunit 19267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. NzRing /\ y e. U ) -> y =/= ( 0g ` R ) )
99	97, 32, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> y =/= ( 0g ` R ) )
100	6, 15, 12	nmrpcl 22424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. NrmGrp /\ y e. X /\ y =/= ( 0g ` R ) ) -> ( N ` y ) e. RR+ )
101	25, 33, 99, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` y ) e. RR+ )
102	96, 101	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) e. RR+ )
103	102	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
104	103	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) e. CC )
105	102	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) =/= 0 )
106	95, 104, 52, 105	divmuld 10823	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) / ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) ) = ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) <-> ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) ) = ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) ) )
107	90, 106	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) / ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) ) = ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) )
108		nrginvrcn.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( dist ` R )
109	15, 6, 47, 108	ngpdsr 22409	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. NrmGrp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) = ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) )
110	25, 28, 33, 109	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A D y ) = ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) )
111	110	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( A D y ) / ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) ) = ( ( N ` ( y ( -g ` R ) A ) ) / ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) ) )
112	15, 6, 47, 108	ngpds 22408	. . . . . . 7 |- ( ( R e. NrmGrp /\ ( I ` A ) e. X /\ ( I ` y ) e. X ) -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) = ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) )
113	25, 44, 46, 112	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) = ( N ` ( ( I ` A ) ( -g ` R ) ( I ` y ) ) ) )
114	107, 111, 113	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) = ( ( A D y ) / ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) ) )
115	110, 94	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A D y ) e. RR )
116	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> T e. RR+ )
117	116	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> T e. RR )
118	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> B e. RR+ )
119	118	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> B e. RR )
120	103, 119	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. B ) e. RR )
121		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A D y ) < T )
122	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) x. B ) e. RR+ )
123	96	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) / 2 ) e. RR+ )
124	122, 123	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) e. RR+ )
125	124	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) e. RR )
126		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
127	122	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) x. B ) e. RR )
128		min2 12021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( N ` A ) x. B ) e. RR ) -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) <_ ( ( N ` A ) x. B ) )
129	126, 127, 128	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) <_ ( ( N ` A ) x. B ) )
130	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) e. RR+ )
131	130	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) e. RR )
132	131, 127, 123	lemul1d 11915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) <_ ( ( N ` A ) x. B ) <-> ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) ) )
133	129, 132	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) <_ ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) )
134	1, 133	syl5eqbr 4688	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> T <_ ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) )
135	123	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) / 2 ) e. RR )
136	31	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) / 2 ) + ( ( N ` A ) / 2 ) ) = ( N ` A ) )
137	30, 35	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) - ( N ` y ) ) e. RR )
138	6, 15, 47	nm2dif 22429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. NrmGrp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( ( N ` A ) - ( N ` y ) ) <_ ( N ` ( A ( -g ` R ) y ) ) )
139	25, 28, 33, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) - ( N ` y ) ) <_ ( N ` ( A ( -g ` R ) y ) ) )
140	15, 6, 47, 108	ngpds 22408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. NrmGrp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A ( -g ` R ) y ) ) )
141	25, 28, 33, 140	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A ( -g ` R ) y ) ) )
142	139, 141	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) - ( N ` y ) ) <_ ( A D y ) )
143		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( N ` A ) x. B ) e. RR ) -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) <_ 1 )
144	126, 127, 143	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) <_ 1 )
145		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> 1 e. RR )
146	131, 145, 123	lemul1d 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) <_ 1 <-> ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) <_ ( 1 x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) ) )
147	144, 146	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( ( N ` A ) x. B ) , 1 , ( ( N ` A ) x. B ) ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) <_ ( 1 x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) )
148	1, 147	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> T <_ ( 1 x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) )
149	135	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) / 2 ) e. CC )
150	149	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( 1 x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) = ( ( N ` A ) / 2 ) )
151	148, 150	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> T <_ ( ( N ` A ) / 2 ) )
152	115, 117, 135, 121, 151	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A D y ) < ( ( N ` A ) / 2 ) )
153	137, 115, 135, 142, 152	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) - ( N ` y ) ) < ( ( N ` A ) / 2 ) )
154	30, 35, 135	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) - ( N ` y ) ) < ( ( N ` A ) / 2 ) <-> ( N ` A ) < ( ( N ` y ) + ( ( N ` A ) / 2 ) ) ) )
155	153, 154	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( N ` A ) < ( ( N ` y ) + ( ( N ` A ) / 2 ) ) )
156	136, 155	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) / 2 ) + ( ( N ` A ) / 2 ) ) < ( ( N ` y ) + ( ( N ` A ) / 2 ) ) )
157	135, 35, 135	ltadd1d 10620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) / 2 ) < ( N ` y ) <-> ( ( ( N ` A ) / 2 ) + ( ( N ` A ) / 2 ) ) < ( ( N ` y ) + ( ( N ` A ) / 2 ) ) ) )
158	156, 157	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( N ` A ) / 2 ) < ( N ` y ) )
159	135, 35, 122, 158	ltmul2dd 11928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) < ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( N ` y ) ) )
160	119	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> B e. CC )
161	31, 36, 160	mul32d 10246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. B ) = ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( N ` y ) ) )
162	159, 161	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( N ` A ) x. B ) x. ( ( N ` A ) / 2 ) ) < ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. B ) )
163	117, 125, 120, 134, 162	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> T < ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. B ) )
164	115, 117, 120, 121, 163	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( A D y ) < ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. B ) )
165	115, 119, 102	ltdivmuld 11923	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( ( A D y ) / ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) ) < B <-> ( A D y ) < ( ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) x. B ) ) )
166	164, 165	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( A D y ) / ( ( N ` A ) x. ( N ` y ) ) ) < B )
167	114, 166	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. U /\ ( A D y ) < T ) ) -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B )
168	167	expr 643	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> ( ( A D y ) < T -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) )
169	168	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. U ( ( A D y ) < T -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) )
170		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = T -> ( ( A D y ) < x <-> ( A D y ) < T ) )
171	170	imbi1d 331	. . . 4 |- ( x = T -> ( ( ( A D y ) < x -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) <-> ( ( A D y ) < T -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) ) )
172	171	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = T -> ( A. y e. U ( ( A D y ) < x -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) <-> A. y e. U ( ( A D y ) < T -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) ) )
173	172	rspcev 3309	. 2 |- ( ( T e. RR+ /\ A. y e. U ( ( A D y ) < T -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. U ( ( A D y ) < x -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) )
174	24, 169, 173	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. y e. U ( ( A D y ) < x -> ( ( I ` A ) D ( I ` y ) ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   distcds 15950   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547  Unitcui 18639   invrcinvr 18671  NzRingcnzr 19257   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmRingcnrg 22384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-abv 18817  df-nzr 19258  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390

This theorem is referenced by:  nrginvrcn  22496