Theorem wunress 15940

Description: Closure of structure restriction in a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wunress.1	|- ( ph -> U e. WUni )
wunress.2	|- ( ph -> om e. U )
wunress.3	|- ( ph -> W e. U )

Assertion

Ref	Expression
wunress	|- ( ph -> ( W ↾s A ) e. U )

Proof of Theorem wunress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wunress.3	. . . . 5 |- ( ph -> W e. U )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( W ↾s A ) = ( W ↾s A )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
4	2, 3	ressval 15927	. . . . 5 |- ( ( W e. U /\ A e. _V ) -> ( W ↾s A ) = if ( ( Base ` W ) C_ A , W , ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) ) )
5	1, 4	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. _V ) -> ( W ↾s A ) = if ( ( Base ` W ) C_ A , W , ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) ) )
6		wunress.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. WUni )
7		df-base 15863	. . . . . . . . 9 |- Base = Slot 1
8		wunress.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> om e. U )
9	6, 8	wunndx 15878	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ndx e. U )
10	7, 6, 9	wunstr 15881	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Base ` ndx ) e. U )
11		incom 3805	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i ( Base ` W ) ) = ( ( Base ` W ) i^i A )
12	7, 6, 1	wunstr 15881	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Base ` W ) e. U )
13	6, 12	wunin 9535	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Base ` W ) i^i A ) e. U )
14	11, 13	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i ( Base ` W ) ) e. U )
15	6, 10, 14	wunop 9544	. . . . . . 7 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. e. U )
16	6, 1, 15	wunsets 15900	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) e. U )
17	1, 16	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( Base ` W ) C_ A , W , ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) ) e. U )
18	17	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. _V ) -> if ( ( Base ` W ) C_ A , W , ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) ) e. U )
19	5, 18	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. _V ) -> ( W ↾s A ) e. U )
20	19	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A e. _V -> ( W ↾s A ) e. U ) )
21	6	wun0 9540	. . 3 |- ( ph -> (/) e. U )
22		reldmress 15926	. . . . 5 |- Rel dom ↾s
23	22	ovprc2 6685	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> ( W ↾s A ) = (/) )
24	23	eleq1d 2686	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( ( W ↾s A ) e. U <-> (/) e. U ) )
25	21, 24	syl5ibrcom 237	. 2 |- ( ph -> ( -. A e. _V -> ( W ↾s A ) e. U ) )
26	20, 25	pm2.61d 170	1 |- ( ph -> ( W ↾s A ) e. U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065  WUnicwun 9522   1c1 9937   ndxcnx 15854   sSet csts 15855   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-wun 9524  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-plp 9805  df-ltp 9807  df-enr 9877  df-nr 9878  df-c 9942  df-nn 11021  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865

This theorem is referenced by: (None)