Theorem zlmodzxzsub 42138

Description: The subtraction of the ZZ-module ZZ X. ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxz.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzsub.m	|- .- = ( -g ` Z )

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzsub	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } .- { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } )

Proof of Theorem zlmodzxzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 11419	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
2		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
3	1, 2	jca 554	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A - B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
4		zsubcl 11419	. . . . 5 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C - D ) e. ZZ )
5		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
6	4, 5	jca 554	. . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( C - D ) e. ZZ /\ D e. ZZ ) )
7		zlmodzxz.z	. . . . 5 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
9	7, 8	zlmodzxzadd 42136	. . . 4 |- ( ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( C - D ) e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } ( +g ` Z ) { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( ( A - B ) + B ) >. , <. 1 , ( ( C - D ) + D ) >. } )
10	3, 6, 9	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } ( +g ` Z ) { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( ( A - B ) + B ) >. , <. 1 , ( ( C - D ) + D ) >. } )
11		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
12		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
13		npcan 10290	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
14	11, 12, 13	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( A - B ) + B ) = A )
16	15	opeq2d 4409	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> <. 0 , ( ( A - B ) + B ) >. = <. 0 , A >. )
17		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. CC )
18		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
19		npcan 10290	. . . . . . 7 |- ( ( C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( C - D ) + D ) = C )
20	17, 18, 19	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( ( C - D ) + D ) = C )
21	20	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( C - D ) + D ) = C )
22	21	opeq2d 4409	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> <. 1 , ( ( C - D ) + D ) >. = <. 1 , C >. )
23	16, 22	preq12d 4276	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , ( ( A - B ) + B ) >. , <. 1 , ( ( C - D ) + D ) >. } = { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } )
24	10, 23	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } ( +g ` Z ) { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } )
25	7	zlmodzxzlmod 42132	. . . 4 |- ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) )
26		lmodgrp 18870	. . . . 5 |- ( Z e. LMod -> Z e. Grp )
27	26	adantr 481	. . . 4 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> Z e. Grp )
28	25, 27	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> Z e. Grp )
29	7	zlmodzxzel 42133	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } e. ( Base ` Z ) )
30	29	ad2ant2r 783	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } e. ( Base ` Z ) )
31	7	zlmodzxzel 42133	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } e. ( Base ` Z ) )
32	2, 5, 31	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } e. ( Base ` Z ) )
33	7	zlmodzxzel 42133	. . . 4 |- ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ ( C - D ) e. ZZ ) -> { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } e. ( Base ` Z ) )
34	1, 4, 33	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } e. ( Base ` Z ) )
35		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
36		zlmodzxzsub.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` Z )
37	35, 8, 36	grpsubadd 17503	. . 3 |- ( ( Z e. Grp /\ ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } e. ( Base ` Z ) /\ { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } e. ( Base ` Z ) /\ { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } e. ( Base ` Z ) ) ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } .- { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } <-> ( { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } ( +g ` Z ) { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ) )
38	28, 30, 32, 34, 37	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } .- { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } <-> ( { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } ( +g ` Z ) { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } ) )
39	24, 38	mpbird 247	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( { <. 0 , A >. , <. 1 , C >. } .- { <. 0 , B >. , <. 1 , D >. } ) = { <. 0 , ( A - B ) >. , <. 1 , ( C - D ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cpr 4179   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   LModclmod 18863  ℤ_ringzring 19818   freeLMod cfrlm 20090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  42285