MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem znnen 14941
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen |- ZZ ~~ NN
Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 8543 . . . . . 6 |- om e. On
2 nnenom 12779 . . . . . . 7 |- NN ~~ om
32ensymi 8006 . . . . . 6 |- om ~~ NN
4 isnumi 8772 . . . . . 6 |- ( ( om e. On /\ om ~~ NN ) -> NN e. dom card )
51, 3, 4mp2an 708 . . . . 5 |- NN e. dom card
6 xpnum 8777 . . . . 5 |- ( ( NN e. dom card /\ NN e. dom card ) -> ( NN X. NN ) e. dom card )
75, 5, 6mp2an 708 . . . 4 |- ( NN X. NN ) e. dom card
8 subf 10283 . . . . . . 7 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
9 ffun 6048 . . . . . . 7 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> Fun - )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 |- Fun -
11 nnsscn 11025 . . . . . . . 8 |- NN C_ CC
12 xpss12 5225 . . . . . . . 8 |- ( ( NN C_ CC /\ NN C_ CC ) -> ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC ) )
1311, 11, 12mp2an 708 . . . . . . 7 |- ( NN X. NN ) C_ ( CC X. CC )
148fdmi 6052 . . . . . . 7 |- dom - = ( CC X. CC )
1513, 14sseqtr4i 3638 . . . . . 6 |- ( NN X. NN ) C_ dom -
16 fores 6124 . . . . . 6 |- ( ( Fun - /\ ( NN X. NN ) C_ dom - ) -> ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ( - " ( NN X. NN ) ) )
1710, 15, 16mp2an 708 . . . . 5 |- ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ( - " ( NN X. NN ) )
18 dfz2 11395 . . . . . 6 |- ZZ = ( - " ( NN X. NN ) )
19 foeq3 6113 . . . . . 6 |- ( ZZ = ( - " ( NN X. NN ) ) -> ( ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ZZ <-> ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ( - " ( NN X. NN ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ZZ <-> ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ( - " ( NN X. NN ) ) )
2117, 20mpbir 221 . . . 4 |- ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ZZ
22 fodomnum 8880 . . . 4 |- ( ( NN X. NN ) e. dom card -> ( ( - |` ( NN X. NN ) ) : ( NN X. NN ) -onto-> ZZ -> ZZ ~<_ ( NN X. NN ) ) )
237, 21, 22mp2 9 . . 3 |- ZZ ~<_ ( NN X. NN )
24 xpnnen 14939 . . 3 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
25 domentr 8015 . . 3 |- ( ( ZZ ~<_ ( NN X. NN ) /\ ( NN X. NN ) ~~ NN ) -> ZZ ~<_ NN )
2623, 24, 25mp2an 708 . 2 |- ZZ ~<_ NN
27 zex 11386 . . 3 |- ZZ e. _V
28 nnssz 11397 . . 3 |- NN C_ ZZ
29 ssdomg 8001 . . 3 |- ( ZZ e. _V -> ( NN C_ ZZ -> NN ~<_ ZZ ) )
3027, 28, 29mp2 9 . 2 |- NN ~<_ ZZ
31 sbth 8080 . 2 |- ( ( ZZ ~<_ NN /\ NN ~<_ ZZ ) -> ZZ ~~ NN )
3226, 30, 31mp2an 708 1 |- ZZ ~~ NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   CCcc 9934   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688
This theorem is referenced by:  qnnen  14942  odinf  17980  odhash  17989  cygctb  18293  iscmet3  23091  dyadmbl  23368  mbfsup  23431  dya2iocct  30342  zenom  39219
  Copyright terms: Public domain W3C validator