Theorem zofldiv2ALTV 41574

Description: The floor of an odd numer divided by 2 is equal to the odd number first decreased by 1 and then divided by 2. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.) (Revised by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zofldiv2ALTV	|- ( N e. Odd -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Proof of Theorem zofldiv2ALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 41544	. . . . 5 |- ( N e. Odd -> N e. ZZ )
2	1	zcnd 11483	. . . 4 |- ( N e. Odd -> N e. CC )
3		npcan1 10455	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
4	3	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( N / 2 ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) )
6		peano2cnm 10347	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
7		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> 1 e. CC )
8		2cnne0 11242	. . . . . . 7 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
10		divdir 10710	. . . . . 6 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( N e. CC -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
12	5, 11	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( N e. CC -> ( N / 2 ) = ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
13	2, 12	syl 17	. . 3 |- ( N e. Odd -> ( N / 2 ) = ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
14	13	fveq2d 6195	. 2 |- ( N e. Odd -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = ( |_ ` ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
15		halfge0 11249	. . . 4 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
16		halflt1 11250	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) < 1
17	15, 16	pm3.2i 471	. . 3 |- ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 )
18		oddm1div2z 41547	. . . 4 |- ( N e. Odd -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
19		halfre 11246	. . . 4 |- ( 1 / 2 ) e. RR
20		flbi2 12618	. . . 4 |- ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
21	18, 19, 20	sylancl 694	. . 3 |- ( N e. Odd -> ( ( |_ ` ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) <-> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) < 1 ) ) )
22	17, 21	mpbiri 248	. 2 |- ( N e. Odd -> ( |_ ` ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
23	14, 22	eqtrd 2656	1 |- ( N e. Odd -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   |_cfl 12591   Odd codd 41538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593  df-odd 41540

This theorem is referenced by:  oddflALTV  41575