Theorem 1259lem1 15838

Description: Lemma for 1259prm 15843. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑16 = 52𝑁 + 68≡68 and 2↑17≡68 · 2 = 136 in this lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259lem1	⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1259prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
2		1nn0 11308	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		2nn0 11309	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
5		5nn0 11312	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
7		9nn 11192	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2697	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 11185	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		6nn0 11313	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
12	2, 11	deccl 11512	. 2 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
13		0z 11388	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
14		8nn0 11315	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15	11, 14	deccl 11512	. 2 ⊢ ;68 ∈ ℕ0
16		3nn0 11310	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
17	2, 16	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
18	17, 11	deccl 11512	. 2 ⊢ ;;136 ∈ ℕ0
19	5, 3	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;52 ∈ ℕ0
20	19	nn0zi 11402	. . 3 ⊢ ;52 ∈ ℤ
21	3, 14	nn0expcli 12886	. . 3 ⊢ (2↑8) ∈ ℕ0
22		eqid 2622	. . 3 ⊢ ((2↑8) mod 𝑁) = ((2↑8) mod 𝑁)
23	14	nn0cni 11304	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		2cn 11091	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		8t2e16 11654	. . . 4 ⊢ (8 · 2) = ;16
26	23, 24, 25	mulcomli 10047	. . 3 ⊢ (2 · 8) = ;16
27		9nn0 11316	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;68 = ;68
29		4nn0 11311	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
30		7nn0 11314	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;47 ∈ ℕ0
32		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
33		0nn0 11307	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	11	dec0h 11522	. . . . . . 7 ⊢ 6 = ;06
35		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;47 = ;47
36		4cn 11098	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
37	36	addid2i 10224	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 4) = 4
38	37	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 4) + 1) = (4 + 1)
39		4p1e5 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
40	38, 39	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 4) + 1) = 5
41		7cn 11104	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		6cn 11102	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
43		7p6e13 11608	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 6) = ;13
44	41, 42, 43	addcomli 10228	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 7) = ;13
45	33, 11, 29, 30, 34, 35, 40, 16, 44	decaddc 11572	. . . . . 6 ⊢ (6 + ;47) = ;53
46	3, 11	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
47		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
48	5	dec0h 11522	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
49		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;26 = ;26
50	24	addid2i 10224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 2) = 2
51	50	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 2) + 1) = (2 + 1)
52		2p1e3 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
53	51, 52	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 2) + 1) = 3
54		5cn 11100	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
55		6p5e11 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 + 5) = ;11
56	42, 54, 55	addcomli 10228	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 6) = ;11
57	33, 5, 3, 11, 48, 49, 53, 2, 56	decaddc 11572	. . . . . . 7 ⊢ (5 + ;26) = ;31
58		10nn0 11516	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
59		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;52 = ;52
60	58	nn0cni 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℂ
61		3cn 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
62		dec10p 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 3) = ;13
63	60, 61, 62	addcomli 10228	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + ;10) = ;13
64	54	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 1) = 5
65		1p0e1 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = 1
66	64, 65	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = (5 + 1)
67		5p1e6 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 + 1) = 6
68	66, 67	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 1) + (1 + 0)) = 6
69	24	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + 3) = (2 + 3)
71		3p2e5 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 2) = 5
72	61, 24, 71	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 3) = 5
73	70, 72, 48	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 3) = ;05
74	5, 3, 2, 16, 59, 63, 2, 5, 33, 68, 73	decmac 11566	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 1) + (3 + ;10)) = ;65
75	2	dec0h 11522	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = ;01
76		5t2e10 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 · 2) = ;10
77		00id 10211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 0) = 0
78	76, 77	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = (;10 + 0)
79		dec10p 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (;10 + 0) = ;10
80	78, 79	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 2) + (0 + 0)) = ;10
81		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
82	81	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
83	82, 39, 48	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
84	5, 3, 33, 2, 59, 75, 3, 5, 33, 80, 83	decmac 11566	. . . . . . 7 ⊢ ((;52 · 2) + 1) = ;;105
85	2, 3, 16, 2, 47, 57, 19, 5, 58, 74, 84	decma2c 11568	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · ;12) + (5 + ;26)) = ;;655
86		5t5e25 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 5) = ;25
87	3, 5, 67, 86	decsuc 11535	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
88	54, 24, 76	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 5) = ;10
89	61	addid2i 10224	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
90	2, 33, 16, 88, 89	decaddi 11579	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 5) + 3) = ;13
91	5, 3, 16, 59, 5, 16, 2, 87, 90	decrmac 11577	. . . . . 6 ⊢ ((;52 · 5) + 3) = ;;263
92	4, 5, 5, 16, 32, 45, 19, 16, 46, 85, 91	decma2c 11568	. . . . 5 ⊢ ((;52 · ;;125) + (6 + ;47)) = ;;;6553
93		9cn 11108	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
94		9t5e45 11666	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 5) = ;45
95	93, 54, 94	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 9) = ;45
96		5p2e7 11165	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 2) = 7
97	29, 5, 3, 95, 96	decaddi 11579	. . . . . 6 ⊢ ((5 · 9) + 2) = ;47
98		9t2e18 11663	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 2) = ;18
99	93, 24, 98	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 9) = ;18
100		1p1e2 11134	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
101		8p8e16 11618	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 8) = ;16
102	2, 14, 14, 99, 100, 11, 101	decaddci 11580	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 9) + 8) = ;26
103	5, 3, 14, 59, 27, 11, 3, 97, 102	decrmac 11577	. . . . 5 ⊢ ((;52 · 9) + 8) = ;;476
104	6, 27, 11, 14, 1, 28, 19, 11, 31, 92, 103	decma2c 11568	. . . 4 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ;;;;65536
105		2exp16 15797	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ;;;;65536
106		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (2↑8) = (2↑8)
107		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ((2↑8) · (2↑8)) = ((2↑8) · (2↑8))
108	3, 14, 26, 106, 107	numexp2x 15783	. . . 4 ⊢ (2↑;16) = ((2↑8) · (2↑8))
109	104, 105, 108	3eqtr2i 2650	. . 3 ⊢ ((;52 · 𝑁) + ;68) = ((2↑8) · (2↑8))
110	9, 10, 14, 20, 21, 15, 22, 26, 109	mod2xi 15773	. 2 ⊢ ((2↑;16) mod 𝑁) = (;68 mod 𝑁)
111		6p1e7 11156	. . 3 ⊢ (6 + 1) = 7
112		eqid 2622	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
113	2, 11, 111, 112	decsuc 11535	. 2 ⊢ (;16 + 1) = ;17
114	18	nn0cni 11304	. . . 4 ⊢ ;;136 ∈ ℂ
115	114	addid2i 10224	. . 3 ⊢ (0 + ;;136) = ;;136
116	9	nncni 11030	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
117	116	mul02i 10225	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
118	117	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (0 + ;;136)
119		6t2e12 11641	. . . . 5 ⊢ (6 · 2) = ;12
120	2, 3, 52, 119	decsuc 11535	. . . 4 ⊢ ((6 · 2) + 1) = ;13
121	3, 11, 14, 28, 11, 2, 120, 25	decmul1c 11587	. . 3 ⊢ (;68 · 2) = ;;136
122	115, 118, 121	3eqtr4i 2654	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + ;;136) = (;68 · 2)
123	9, 10, 12, 13, 15, 18, 110, 113, 122	modxp1i 15774	1 ⊢ ((2↑;17) mod 𝑁) = (;;136 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1483  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493   mod cmo 12668  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  1259lem2  15839  1259lem4  15841