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Theorem 2lgslem3d 25124

Description: Lemma for 2lgslem3d1 25128. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
2lgslem2.n

**Assertion**
Ref	Expression
2lgslem3d	$/\$

**Proof of Theorem 2lgslem3d**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3
2		oveq1 6657	. . . . 5
3	2	oveq1d 6665	. . . 4
4		oveq1 6657	. . . . 5
5	4	fveq2d 6195	. . . 4
6	3, 5	oveq12d 6668	. . 3
7	1, 6	syl5eq 2668	. 2
8		8nn0 11315	. . . . . . . . . . 11
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10
10		id 22	. . . . . . . . . 10
11	9, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . 9
12	11	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8
13		7cn 11104	. . . . . . . . 9
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8
15		1cnd 10056	. . . . . . . 8
16	12, 14, 15	addsubassd 10412	. . . . . . 7
17		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . 12
18	17	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
21		4cn 11098	. . . . . . . . . . 11
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10
23		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10
25		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10
26	22, 24, 25	mul32d 10246	. . . . . . . . 9
27	20, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
28		df-7 11084	. . . . . . . . . . 11
29	28	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
30		6cn 11102	. . . . . . . . . . 11
31		pncan1 10454	. . . . . . . . . . 11
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
33	29, 32	eqtri 2644	. . . . . . . . 9
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8
35	27, 34	oveq12d 6668	. . . . . . 7
36	16, 35	eqtrd 2656	. . . . . 6
37	36	oveq1d 6665	. . . . 5
38		4nn0 11311	. . . . . . . . . 10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9
40	39, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8
41	40	nn0cnd 11353	. . . . . . 7
42	41, 24	mulcld 10060	. . . . . 6
43	30	a1i 11	. . . . . 6
44		2rp 11837	. . . . . . . 8
45	44	a1i 11	. . . . . . 7
46	45	rpcnne0d 11881	. . . . . 6 $/\$
47		divdir 10710	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . 5
49		2ne0 11113	. . . . . . . 8
50	49	a1i 11	. . . . . . 7
51	41, 24, 50	divcan4d 10807	. . . . . 6
52		3t2e6 11179	. . . . . . . . . 10
53	52	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9
54	53	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
55		3cn 11095	. . . . . . . . 9
56	55, 23, 49	divcan4i 10772	. . . . . . . 8
57	54, 56	eqtri 2644	. . . . . . 7
58	57	a1i 11	. . . . . 6
59	51, 58	oveq12d 6668	. . . . 5
60	37, 48, 59	3eqtrd 2660	. . . 4
61		4ne0 11117	. . . . . . . . . 10
62	21, 61	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 $/\$
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$
64		divdir 10710	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
65	12, 14, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . 7
66		8cn 11106	. . . . . . . . . . 11
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . 10
68		div23 10704	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
69	67, 25, 63, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9
70	18	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
71	23, 21, 61	divcan3i 10771	. . . . . . . . . . . 12
72	70, 71	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
75	69, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . 7
77	65, 76	eqtrd 2656	. . . . . 6
78	77	fveq2d 6195	. . . . 5
79		3lt4 11197	. . . . . 6
80		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
82	81, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . 10
83	82	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9
84	83	peano2zd 11485	. . . . . . . 8
85		3nn0 11310	. . . . . . . . 9
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8
87		4nn 11187	. . . . . . . . 9
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8
89		adddivflid 12619	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
90	84, 86, 88, 89	syl3anc 1326	. . . . . . 7
91	24, 25	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11
92	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
93	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
94	92, 22, 93	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11
95	91, 15, 94	addassd 10062	. . . . . . . . . 10
96		4p3e7 11163	. . . . . . . . . . . . . . . 16
97	96	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15
98	97	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
99	21, 55, 21, 61	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . . . 14
100	21, 61	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . . . 15
101	100	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
102	98, 99, 101	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
106	95, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
108	107	eqeq1d 2624	. . . . . . 7
109	90, 108	bitrd 268	. . . . . 6
110	79, 109	mpbii 223	. . . . 5
111	78, 110	eqtrd 2656	. . . 4
112	60, 111	oveq12d 6668	. . 3
113	82	nn0cnd 11353	. . . 4
114	41, 92, 113, 15	addsub4d 10439	. . 3
115		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10
116	115	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8
118	117	oveq1d 6665	. . . . . . 7
119	24, 24, 25	mulassd 10063	. . . . . . 7
120	118, 119	eqtrd 2656	. . . . . 6
121	120	oveq1d 6665	. . . . 5
122		2txmxeqx 11149	. . . . . 6
123	113, 122	syl 17	. . . . 5
124	121, 123	eqtrd 2656	. . . 4
125		3m1e2 11137	. . . . 5
126	125	a1i 11	. . . 4
127	124, 126	oveq12d 6668	. . 3
128	112, 114, 127	3eqtrd 2660	. 2
129	7, 128	sylan9eqr 2678	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c6 11074

c7 11075

c8 11076

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cfl 12591

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593

This theorem is referenced by: 2lgslem3d1 25128

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